vvhshnsnnakambdhd

Câu 4: Trước tiên, ta xác định các góc và khoảng cách đã cho trong bài toán: - \( OM = 14 \) - \( \angle NOB = 32^\circ \) - \( \angle MOC = 65^\circ \) Ta sẽ tính toán từng thành phần tọa độ của điểm \( M(x; y; z) \). Bước 1: Xác định tọa độ \( z \) Tọa độ \( z \) của điểm \( M \) là khoảng cách từ \( M \) xuống mặt phẳng \( Oxy \): \[ z = OM \cdot \sin(\angle MOC) = 14 \cdot \sin(65^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị: \[ \sin(65^\circ) \approx 0.9063 \] \[ z \approx 14 \cdot 0.9063 \approx 12.7 \] Bước 2: Xác định tọa độ \( x \) và \( y \) Tọa độ \( x \) và \( y \) nằm trên mặt phẳng \( Oxy \). Ta cần xác định khoảng cách từ \( M \) tới trục \( Oz \): \[ OM_{xy} = OM \cdot \cos(\angle MOC) = 14 \cdot \cos(65^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị: \[ \cos(65^\circ) \approx 0.4226 \] \[ OM_{xy} \approx 14 \cdot 0.4226 \approx 5.9 \] Bây giờ, ta xác định tọa độ \( x \) và \( y \) trên mặt phẳng \( Oxy \): \[ x = OM_{xy} \cdot \cos(\angle NOB) = 5.9 \cdot \cos(32^\circ) \] \[ y = OM_{xy} \cdot \sin(\angle NOB) = 5.9 \cdot \sin(32^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị: \[ \cos(32^\circ) \approx 0.8480 \] \[ \sin(32^\circ) \approx 0.5299 \] Do đó: \[ x \approx 5.9 \cdot 0.8480 \approx 4.99 \approx 5.0 \] \[ y \approx 5.9 \cdot 0.5299 \approx 3.12 \approx 3.1 \] Bước 3: Tính tổng \( S = x + y + z \) \[ S = x + y + z \approx 5.0 + 3.1 + 12.7 = 20.8 \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ S \approx 20.8 \] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm M trên mặt phẳng Oyz. 2. Xác định điều kiện để tam giác ABM vuông cân tại A. 3. Tìm tọa độ của điểm M. 4. Tính giá trị của \(2b + 3c\). Bước 1: Xác định tọa độ của điểm M trên mặt phẳng Oyz. - Điểm M nằm trên mặt phẳng Oyz nên tọa độ của M có dạng \(M(0; b; c)\). Bước 2: Xác định điều kiện để tam giác ABM vuông cân tại A. - Để tam giác ABM vuông cân tại A, ta cần: - \(AB = AM\) - \(AB \perp AM\) Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M. - Tính khoảng cách \(AB\): \[ AB = \sqrt{(7-4)^2 + (3+1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Tính khoảng cách \(AM\): \[ AM = \sqrt{(0-4)^2 + (b+1)^2 + (c-2)^2} = \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} \] - Vì \(AB = AM\), ta có: \[ 5 = \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} \] \[ 25 = 16 + (b+1)^2 + (c-2)^2 \] \[ (b+1)^2 + (c-2)^2 = 9 \quad \text{(1)} \] - Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} \): \[ \overrightarrow{AB} = (7-4, 3+1, 2-2) = (3, 4, 0) \] \[ \overrightarrow{AM} = (0-4, b+1, c-2) = (-4, b+1, c-2) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 3(-4) + 4(b+1) + 0(c-2) = -12 + 4(b+1) = -12 + 4b + 4 = 4b - 8 \] - Vì \(AB \perp AM\), ta có: \[ 4b - 8 = 0 \] \[ 4b = 8 \] \[ b = 2 \] - Thay \(b = 2\) vào phương trình (1): \[ (2+1)^2 + (c-2)^2 = 9 \] \[ 3^2 + (c-2)^2 = 9 \] \[ 9 + (c-2)^2 = 9 \] \[ (c-2)^2 = 0 \] \[ c = 2 \] Bước 4: Tính giá trị của \(2b + 3c\). \[ 2b + 3c = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10 \] Vậy giá trị của \(2b + 3c\) là 10. Câu 6: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi khoảng. - Nhân trọng số trung tâm với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với tần số tương ứng. - Cộng tất cả các kết quả lại và chia cho tổng tần số. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu | Cự li (m) | Trọng số trung tâm | Tần số | Trọng số trung tâm × Tần số | |-----------|---------------------|--------|-----------------------------| | [19; 19,5) | 19,25 | 13 | 19,25 × 13 = 250,25 | | [19,5; 20) | 19,75 | 45 | 19,75 × 45 = 888,75 | | [20; 20,5) | 20,25 | 24 | 20,25 × 24 = 486 | | [20,5; 21) | 20,75 | 12 | 20,75 × 12 = 249 | | [21; 21,5) | 21,25 | 6 | 21,25 × 6 = 127,5 | Tổng tần số: 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100 Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{250,25 + 888,75 + 486 + 249 + 127,5}{100} = \frac{2001,5}{100} = 20,015 \] Bước 2: Tính phương sai | Cự li (m) | Trọng số trung tâm | Tần số | (Trọng số trung tâm - Trung bình cộng)² | (Trọng số trung tâm - Trung bình cộng)² × Tần số | |-----------|---------------------|--------|-----------------------------------------|-------------------------------------------------| | [19; 19,5) | 19,25 | 13 | (19,25 - 20,015)² = 0,585625 | 0,585625 × 13 = 7,613125 | | [19,5; 20) | 19,75 | 45 | (19,75 - 20,015)² = 0,068025 | 0,068025 × 45 = 3,061125 | | [20; 20,5) | 20,25 | 24 | (20,25 - 20,015)² = 0,056025 | 0,056025 × 24 = 1,3446 | | [20,5; 21) | 20,75 | 12 | (20,75 - 20,015)² = 0,555625 | 0,555625 × 12 = 6,6675 | | [21; 21,5) | 21,25 | 6 | (21,25 - 20,015)² = 1,515625 | 1,515625 × 6 = 9,09375 | Phương sai: \[ s^2 = \frac{7,613125 + 3,061125 + 1,3446 + 6,6675 + 9,09375}{100} = \frac{27,7801}{100} = 0,277801 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ s^2 \approx 0,28 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,28.