Tl giúp mình ik

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định thể tích của lăng trụ đứng. 2. Tìm giá trị của x để thể tích lớn nhất. Bước 1: Xác định thể tích của lăng trụ đứng Thể tích của lăng trụ đứng được tính bằng công thức: \[ V = S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao} \] Trong trường hợp này, đáy của lăng trụ là tam giác ABC, chiều cao là 20 m. Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle ABC) \] Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên: \[ S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times x = \frac{5x}{2} \] Thể tích của lăng trụ đứng là: \[ V = \frac{5x}{2} \times 20 = 50x \] Bước 2: Tìm giá trị của x để thể tích lớn nhất Để tìm giá trị của x sao cho thể tích lớn nhất, chúng ta cần tối đa hóa biểu thức \( V = 50x \). Tuy nhiên, trong bài toán này, không có ràng buộc nào về giá trị của x, do đó thể tích sẽ tăng theo x. Để đảm bảo rằng x là một giá trị hợp lý, chúng ta cần xem xét các điều kiện thực tế hoặc giới hạn của bài toán. Giả sử rằng x có thể thay đổi từ 0 đến một giá trị tối đa hợp lý, thì thể tích lớn nhất sẽ xảy ra khi x đạt giá trị lớn nhất. Do đó, thể tích lớn nhất của lăng trụ đứng là: \[ V_{\text{max}} = 50x_{\text{max}} \] Vậy, thể tích lớn nhất của lăng trụ đứng là 50 lần giá trị lớn nhất của x. Đáp số: Thể tích lớn nhất của lăng trụ đứng là 50 lần giá trị lớn nhất của x. Câu 2. Để tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để chi phí trung bình là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức của chi phí trung bình \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{0,2x^2 + 10x + 5}{x} = 0,2x + 10 + \frac{5}{x} \] 2. Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(0,2x + 10 + \frac{5}{x}\right) = 0,2 - \frac{5}{x^2} \] 3. Tìm điểm cực tiểu của \( f(x) \): Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 0,2 - \frac{5}{x^2} = 0 \] \[ \frac{5}{x^2} = 0,2 \] \[ x^2 = \frac{5}{0,2} = 25 \] \[ x = 5 \quad (\text{vì } x > 0) \] 4. Kiểm tra tính chất của điểm cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(0,2 - \frac{5}{x^2}\right) = \frac{10}{x^3} \] Tại \( x = 5 \): \[ f''(5) = \frac{10}{5^3} = \frac{10}{125} = \frac{2}{25} > 0 \] Do đó, \( x = 5 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). 5. Kết luận: Chi phí trung bình đạt giá trị nhỏ nhất khi số lượng sản phẩm cần sản xuất là \( x = 5 \). Đáp số: Chi phí trung bình đạt giá trị nhỏ nhất khi số lượng sản phẩm cần sản xuất là 5 sản phẩm. Câu 3. Để tính góc giữa hai vectơ vận tốc \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\), chúng ta sẽ sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Trước tiên, chúng ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 90 \times 60 + (-80) \times (-50) + (-120) \times (-60) \] \[ = 5400 + 4000 + 7200 \] \[ = 16600 \] Tiếp theo, chúng ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{90^2 + (-80)^2 + (-120)^2} \] \[ = \sqrt{8100 + 6400 + 14400} \] \[ = \sqrt{28900} \] \[ = 170 \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{60^2 + (-50)^2 + (-60)^2} \] \[ = \sqrt{3600 + 2500 + 3600} \] \[ = \sqrt{9700} \] \[ = 10 \sqrt{97} \] Bây giờ, chúng ta tính cosin của góc \(\theta\): \[ \cos \theta = \frac{16600}{170 \times 10 \sqrt{97}} \] \[ = \frac{16600}{1700 \sqrt{97}} \] \[ = \frac{166}{17 \sqrt{97}} \] Chúng ta sử dụng máy tính để tìm giá trị của \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{166}{17 \sqrt{97}} \right) \] Sau khi tính toán, ta có: \[ \theta \approx 10.1^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ vận tốc là khoảng 10.1 độ. Câu 4. Để tìm đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ để đơn giản hóa bài toán. 1. Phản xạ điểm B qua mặt phẳng Oyz: - Điểm B(2;4;0) nằm trên mặt phẳng Oyz, do đó khi phản xạ qua mặt phẳng này, tọa độ của B không thay đổi. Ta gọi điểm này là B'(2;4;0). 2. Phản xạ điểm A qua mặt phẳng Oxy: - Điểm A(4;0;4) nằm trên mặt phẳng Oxy, do đó khi phản xạ qua mặt phẳng này, tọa độ của A không thay đổi. Ta gọi điểm này là A'(4;0;-4). 3. Tìm đường thẳng nối A' và B': - Đường thẳng nối A'(4;0;-4) và B'(2;4;0) sẽ cắt tia Oz tại điểm M và cắt tia Oy tại điểm N. 4. Tính khoảng cách giữa A' và B': - Khoảng cách giữa hai điểm A'(4;0;-4) và B'(2;4;0) là: \[ AB' = \sqrt{(4-2)^2 + (0-4)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 \] Do đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất là 6. Đáp số: 6. Câu 5. Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định nhóm có tần số tương đối lớn nhất. Sau đó, sử dụng công thức để tính mốt của nhóm đó. Bước 1: Xác định nhóm có tần số tương đối lớn nhất. - Nhóm [120;125) có tần số tương đối là 5%. - Nhóm [125;130) có tần số tương đối là 10%. - Nhóm [130;135) có tần số tương đối là 15%. - Nhóm [135;140) có tần số tương đối là 25%. - Nhóm [140;145) có tần số tương đối là 45%. Nhóm có tần số tương đối lớn nhất là nhóm [140;145). Bước 2: Áp dụng công thức để tính mốt của nhóm [140;145). Công thức mốt của nhóm: \[ Mo = x_l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times d \] Trong đó: - \( x_l \) là cận dưới của nhóm có tần số tương đối lớn nhất. - \( f_1 \) là tần số tương đối của nhóm có tần số tương đối lớn nhất. - \( f_0 \) là tần số tương đối của nhóm liền trước nhóm có tần số tương đối lớn nhất. - \( f_2 \) là tần số tương đối của nhóm liền sau nhóm có tần số tương đối lớn nhất. - \( d \) là khoảng cách giữa hai cận của nhóm. Áp dụng vào bài toán: - \( x_l = 140 \) - \( f_1 = 45\% \) - \( f_0 = 25\% \) - \( f_2 = 0\% \) (vì không có nhóm liền sau) - \( d = 5 \) Thay vào công thức: \[ Mo = 140 + \left( \frac{45 - 25}{2 \times 45 - 25 - 0} \right) \times 5 \] \[ Mo = 140 + \left( \frac{20}{90 - 25} \right) \times 5 \] \[ Mo = 140 + \left( \frac{20}{65} \right) \times 5 \] \[ Mo = 140 + \left( \frac{20}{13} \right) \] \[ Mo = 140 + 1,538 \] \[ Mo \approx 142 \] Vậy mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 142 (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 6. Để tính tỉ số của độ lệch chuẩn và số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tính trung điểm của mỗi khoảng: \[ [15;16) \rightarrow 15.5 \\ [16;17) \rightarrow 16.5 \\ [17;18) \rightarrow 17.5 \\ [18;19) \rightarrow 18.5 \\ [19;20) \rightarrow 19.5 \] - Nhân trung điểm của mỗi khoảng với tần số tương đối của nó: \[ 15.5 \times 0.12 = 1.86 \\ 16.5 \times 0.24 = 3.96 \\ 17.5 \times 0.36 = 6.3 \\ 18.5 \times 0.20 = 3.7 \\ 19.5 \times 0.08 = 1.56 \] - Cộng tất cả các kết quả trên để tìm số trung bình: \[ \bar{x} = 1.86 + 3.96 + 6.3 + 3.7 + 1.56 = 17.38 \] 2. Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tính bình phương của độ chênh lệch giữa mỗi trung điểm và số trung bình, nhân với tần số tương đối: \[ (15.5 - 17.38)^2 \times 0.12 = (-1.88)^2 \times 0.12 = 3.5344 \times 0.12 = 0.424128 \\ (16.5 - 17.38)^2 \times 0.24 = (-0.88)^2 \times 0.24 = 0.7744 \times 0.24 = 0.185856 \\ (17.5 - 17.38)^2 \times 0.36 = (0.12)^2 \times 0.36 = 0.0144 \times 0.36 = 0.005184 \\ (18.5 - 17.38)^2 \times 0.20 = (1.12)^2 \times 0.20 = 1.2544 \times 0.20 = 0.25088 \\ (19.5 - 17.38)^2 \times 0.08 = (2.12)^2 \times 0.08 = 4.4944 \times 0.08 = 0.359552 \] - Cộng tất cả các kết quả trên để tìm phương sai: \[ s^2 = 0.424128 + 0.185856 + 0.005184 + 0.25088 + 0.359552 = 1.2256 \] 3. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: - Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{1.2256} \approx 1.107 \] 4. Tính tỉ số của độ lệch chuẩn và số trung bình: - Tỉ số của độ lệch chuẩn và số trung bình: \[ \frac{s}{\bar{x}} = \frac{1.107}{17.38} \approx 0.0637 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ \frac{s}{\bar{x}} \approx 0.06 \] Đáp số: 0.06