Câu 1:
1) Giải phương trình:
Phương trình có dạng tích hai thừa số bằng 0.
Ta có:
hoặc
- Với , ta có:
- Với , ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
2) Giải hệ phương trình:
Ta có hệ phương trình:
Ta cộng hai phương trình lại để loại biến :
Thay vào phương trình đầu tiên để tìm :
Vậy nghiệm của hệ phương trình là và .
Câu 2:
a)
Ta mở ngoặc và chuyển tất cả các hạng tử về vế trái:
Chuyển các hạng tử về vế trái:
Rút gọn:
b)
Nhân cả hai vế với 15 để khử mẫu:
Mở ngoặc:
Chuyển các hạng tử về vế trái:
Rút gọn:
Chia cả hai vế cho 23:
Đáp số:
a)
b)
Câu 3:
a) Ta có:
Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai:
Thay vào biểu thức ban đầu:
Vậy giá trị của biểu thức là:
b) Ta có:
Áp dụng công thức :
Ta biết rằng , do đó:
Thay vào biểu thức ban đầu:
Nhân hai biểu thức này lại:
Vậy giá trị của biểu thức là:
Câu 4.
Để tính chiều cao của tòa tháp, chúng ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của góc . Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của tang (tangent) của góc này.
Trong tam giác vuông, tang của một góc là tỉ số giữa độ dài cạnh đối diện với góc đó và độ dài cạnh kề với góc đó.
Gọi chiều cao của tòa tháp là (m).
Trong tam giác vuông có:
- Cạnh đối với góc là chiều cao của tòa tháp .
- Cạnh kề với góc là độ dài bóng của tòa tháp trên mặt đất, tức là 15 m.
Ta có:
Từ bảng lượng giác hoặc máy tính, ta biết:
Do đó:
Giải phương trình này để tìm :
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta có:
Vậy chiều cao của tòa tháp là khoảng 21.42 m.
Câu 5:
Gọi giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là triệu đồng (điều kiện: ).
Giá niêm yết của chiếc ti vi là triệu đồng.
Sau khi giảm giá, giá bán của chiếc điều hòa nhiệt độ là:
Sau khi giảm giá, giá bán của chiếc ti vi là:
Theo đề bài, tổng số tiền cô Dung đã mua hai mặt hàng là 14,4 triệu đồng, nên ta có phương trình:
Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này:
Vậy giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là 6 triệu đồng.
Giá niêm yết của chiếc ti vi là:
Đáp số: Giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là 6 triệu đồng, giá niêm yết của chiếc ti vi là 16 triệu đồng.
Câu 6:
a) Ta có IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nên OA vuông góc với IA tại A, OB vuông góc với IB tại B. Theo tính chất tiếp tuyến thì IA = IB và .
b) Xét tam giác OAB có OA = OB (bán kính) nên tam giác OAB là tam giác cân tại O. Suy ra .
Mà .
Vì tam giác OAB là tam giác cân tại O nên .
Mà (OA vuông góc với IA) nên .
Từ đây ta tính được .
Vậy .
Xét tam giác OAI có nên .
Tam giác OAI là tam giác cân tại O nên OA = IA.
Vậy IA = R.
c) Xét tam giác IAM có nên .
Xét tam giác ONC có nên .
Vậy .
Câu 7:
Gọi số tiền ban đầu người đó gửi là triệu đồng.
Sau tháng thứ nhất, số tiền lãi người đó nhận được là:
Sau tháng thứ nhất, tổng số tiền trong tài khoản của người đó là:
Sau tháng thứ hai, số tiền lãi người đó nhận được từ số tiền mới là:
Theo đề bài, số tiền lãi sau tháng thứ hai không ít hơn 500000 đồng, tức là:
Giải bất phương trình này:
Do đó, người đó phải gửi số tiền ban đầu ít nhất là 100 triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: 100 triệu đồng.
Câu 8.
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với điều kiện , ta thực hiện các bước sau:
1. Đặt biến mới để đơn giản hóa biểu thức:
Gọi . Do , ta có .
2. Biểu thức theo biến :
Ta có . Thay vào biểu thức :
3. Tìm giá trị lớn nhất của :
Để tìm giá trị lớn nhất của , ta xét đạo hàm của theo :
Nhân cả tử và mẫu với 5:
Ta thấy rằng sẽ đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị tối ưu. Ta xét đạo hàm của theo :
Đặt :
4. Kiểm tra giá trị :
Thay vào biểu thức :
5. Kết luận:
Giá trị lớn nhất của biểu thức là , đạt được khi , tức là .
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là , đạt được khi .
Câu 1
a)
Ta có:
hoặc
hoặc
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
b)
Điều kiện xác định: , .
Quy đồng mẫu số và thực hiện phép trừ:
Nhân cả hai vế với :
Kiểm tra điều kiện xác định: thỏa mãn điều kiện , .
Vậy nghiệm của phương trình là .
Câu 2
1. Tính:
a) và
b)
2. Cho biểu thức: với , .
a) Rút gọn biểu thức P:
Ta có:
Nhận thấy rằng và . Do đó, ta có thể viết lại biểu thức như sau:
Áp dụng công thức nhân ba thức , ta có:
Do đó:
Rút gọn phân thức:
b) Tính giá trị của P tại , :
Thay và vào biểu thức đã rút gọn:
Đáp số:
a) , ,
b)