Giúp mình với!

c) $\frac{\sqrt{45mn^2}}{\sqrt{20m}}$ với $m,n>0;$ Điều kiện xác định: $m > 0, n > 0$ Ta có: \[ \frac{\sqrt{45mn^2}}{\sqrt{20m}} = \sqrt{\frac{45mn^2}{20m}} = \sqrt{\frac{45n^2}{20}} = \sqrt{\frac{9n^2}{4}} = \frac{3n}{2} \] d) $\sqrt{\frac{x-2\sqrt x+1}{x+2\sqrt x+1}}$ với $x \geq 0.$ Điều kiện xác định: $x \geq 0$ Ta có: \[ \sqrt{\frac{x-2\sqrt x+1}{x+2\sqrt x+1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt x - 1)^2}{(\sqrt x + 1)^2}} = \frac{|\sqrt x - 1|}{|\sqrt x + 1|} \] Vì $\sqrt x + 1 > 0$ luôn đúng, ta có: \[ \frac{|\sqrt x - 1|}{|\sqrt x + 1|} = \frac{|\sqrt x - 1|}{\sqrt x + 1} \] Nếu $\sqrt x \geq 1$, tức là $x \geq 1$, ta có: \[ \frac{|\sqrt x - 1|}{\sqrt x + 1} = \frac{\sqrt x - 1}{\sqrt x + 1} \] Nếu $\sqrt x < 1$, tức là $0 \leq x < 1$, ta có: \[ \frac{|\sqrt x - 1|}{\sqrt x + 1} = \frac{1 - \sqrt x}{\sqrt x + 1} \] Vậy: \[ \sqrt{\frac{x-2\sqrt x+1}{x+2\sqrt x+1}} = \begin{cases} \frac{\sqrt x - 1}{\sqrt x + 1} & \text{ nếu } x \geq 1 \\ \frac{1 - \sqrt x}{\sqrt x + 1} & \text{ nếu } 0 \leq x < 1 \end{cases} \] Bài 5. Để tính giá trị của biểu thức \( M = \sqrt{6x + 5} \), trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của \( x \). Bước 1: Tính giá trị của \( x \) \[ x = \sqrt{\frac{2}{3}} : \sqrt{\frac{3}{2}} \] Áp dụng công thức chia hai căn bậc hai: \[ x = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \] Bước 2: Thay giá trị của \( x \) vào biểu thức \( M \) \[ M = \sqrt{6x + 5} \] \[ M = \sqrt{6 \left( \frac{2}{3} \right) + 5} \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức bên trong căn bậc hai \[ 6 \left( \frac{2}{3} \right) = 4 \] \[ M = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là 3. Bài 6. a) Điều kiện xác định: \( x > 1 \) \[ \sqrt{\frac{2x-3}{x-1}} = 2 \] Bình phương cả hai vế: \[ \frac{2x-3}{x-1} = 4 \] Nhân cả hai vế với \( x - 1 \): \[ 2x - 3 = 4(x - 1) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 2x - 3 = 4x - 4 \] Di chuyển các hạng tử về một vế: \[ 2x - 4x = -4 + 3 \] \[ -2x = -1 \] Chia cả hai vế cho -2: \[ x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra điều kiện xác định \( x > 1 \): \( \frac{1}{2} \) không thỏa mãn điều kiện này, do đó không có nghiệm. b) Điều kiện xác định: \( x \geq \frac{3}{2} \) và \( x > 1 \) (tức là \( x > 1 \)) \[ \frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}} = 2 \] Bình phương cả hai vế: \[ \frac{2x-3}{x-1} = 4 \] Nhân cả hai vế với \( x - 1 \): \[ 2x - 3 = 4(x - 1) \] Mở ngoặc và thu gọn: \[ 2x - 3 = 4x - 4 \] Di chuyển các hạng tử về một vế: \[ 2x - 4x = -4 + 3 \] \[ -2x = -1 \] Chia cả hai vế cho -2: \[ x = \frac{1}{2} \] Kiểm tra điều kiện xác định \( x > 1 \): \( \frac{1}{2} \) không thỏa mãn điều kiện này, do đó không có nghiệm. Đáp số: Không có nghiệm. Bài 7. Để chứng minh đẳng thức $\frac{\sqrt{6+2\sqrt5}}{\sqrt5+1}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt6}}{\sqrt3-\sqrt2}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn các biểu thức ở tử số và mẫu số của cả hai vế. Bước 2: So sánh hai vế để chứng minh chúng bằng nhau. Bước 1: Rút gọn các biểu thức Xét vế trái: \[ \frac{\sqrt{6+2\sqrt5}}{\sqrt5+1} \] Ta nhận thấy rằng $6 + 2\sqrt{5}$ có thể được viết dưới dạng $(\sqrt{5} + 1)^2$. Do đó: \[ \sqrt{6+2\sqrt5} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = \sqrt{5} + 1 \] Vậy vế trái trở thành: \[ \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = 1 \] Xét vế phải: \[ \frac{\sqrt{5-2\sqrt6}}{\sqrt3-\sqrt2} \] Ta nhận thấy rằng $5 - 2\sqrt{6}$ có thể được viết dưới dạng $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$. Do đó: \[ \sqrt{5-2\sqrt6} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \] Vậy vế phải trở thành: \[ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 1 \] Bước 2: So sánh hai vế Cả hai vế đều bằng 1, do đó ta đã chứng minh được đẳng thức: \[ \frac{\sqrt{6+2\sqrt5}}{\sqrt5+1} = \frac{\sqrt{5-2\sqrt6}}{\sqrt3-\sqrt2} \] Đẳng thức đã được chứng minh.