Giải giúp mình với

Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm - Điểm \( A \) có tọa độ \( (5;0;0) \). - Điểm \( H \) có tọa độ \( (0;5;3) \). Bước 2: Xác định góc dốc của mái nhà Góc dốc của mái nhà là góc giữa hai mặt phẳng (FGQP) và (FGHE). Theo đề bài, số đo của góc dốc của mái nhà là 26,6°. Bước 3: Xác định chiều cao của ngôi nhà Chiều cao của ngôi nhà là khoảng cách từ mặt đất lên đỉnh mái nhà. Theo đề bài, chiều cao của ngôi nhà là 4 đơn vị. Kết luận: - Tọa độ của điểm \( A \) là \( (5;0;0) \). - Tọa độ của điểm \( H \) là \( (0;5;3) \). - Số đo của góc dốc của mái nhà là 26,6°. - Chiều cao của ngôi nhà là 4 đơn vị. Đáp số: - Tọa độ của điểm \( A \): \( (5;0;0) \) - Tọa độ của điểm \( H \): \( (0;5;3) \) - Số đo của góc dốc của mái nhà: 26,6° - Chiều cao của ngôi nhà: 4 đơn vị Câu 1: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương ABCD-A'B'C'D'. Giả sử cạnh lập phương có độ dài là \( a \). - Điểm \( A(0, 0, 0) \) - Điểm \( B(a, 0, 0) \) - Điểm \( D(0, a, 0) \) - Điểm \( A'(0, 0, a) \) - Điểm \( D'(0, a, a) \) - Điểm \( C'(a, a, a) \) Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( A'D' \): \[ M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, a \right) \] Trung điểm \( N \) của đoạn thẳng \( C'D' \): \[ N = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a, a \right) \] Tiếp theo, ta tìm vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, a - a \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right) \] \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) \] Bây giờ, ta tính góc \( \varphi \) giữa hai vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{AB} \) bằng công thức: \[ \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{AB}|} \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = \left( \frac{a}{2} \right) \cdot a + \left( \frac{a}{2} \right) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = \frac{a^2}{2} \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a \] Do đó: \[ \cos \varphi = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a}{\sqrt{2}} \cdot a} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy góc \( \varphi \) là: \[ \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ \] Đáp số: \( \varphi = 45^\circ \) Câu 2: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A, Oz là trục thẳng đứng, Ox là trục nằm ngang và Oy là trục vuông góc với mặt phẳng (ABCD). - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (a, 0, 0) - Điểm C có tọa độ (a, a, 0) - Điểm D có tọa độ (0, a, 0) - Điểm A' có tọa độ (0, 0, a) - Điểm B' có tọa độ (a, 0, a) - Điểm C' có tọa độ (a, a, a) - Điểm D' có tọa độ (0, a, a) Gọi M là trung điểm của AD', N là trung điểm của CD. - Tọa độ của M là $\left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2} \right) = \left( 0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)$ - Tọa độ của N là $\left( \frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right)$ Ta tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CB}$: - $\overrightarrow{MN} = \left( \frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2} \right)$ - $\overrightarrow{CB} = \left( a - a, 0 - a, 0 - 0 \right) = (0, -a, 0)$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB}$ là: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB} = \left( \frac{a}{2} \right) \cdot 0 + \left( \frac{a}{2} \right) \cdot (-a) + \left( -\frac{a}{2} \right) \cdot 0 = 0 - \frac{a^2}{2} + 0 = -\frac{a^2}{2} \] Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB} = -\frac{a^2}{2} \] Vậy giá trị của n là: \[ n = -\frac{1}{2} \] Đáp số: \( n = -0.5 \) Câu 3: Để tính giá trị biểu thức \( P = a + b + c \), ta cần tìm tọa độ của trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \). Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó, \( A(1; 2; 3) \), \( B(-1; 2; 0) \), và \( C(3; 2; -3) \). Ta tính từng thành phần tọa độ của \( G \): 1. Tọa độ \( x \)-tọa độ của \( G \): \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + (-1) + 3}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] 2. Tọa độ \( y \)-tọa độ của \( G \): \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{2 + 2 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] 3. Tọa độ \( z \)-tọa độ của \( G \): \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{3 + 0 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là \( G(1; 2; 0) \). Do đó, \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = 0 \). Giá trị biểu thức \( P = a + b + c \) là: \[ P = 1 + 2 + 0 = 3 \] Đáp số: \( P = 3 \) Câu 4: Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AM}\) phải cùng phương. Ta sẽ tính các vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương. 1. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, 1-2, 1-3) = (1, -1, -2) \] 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x_0 - 1, y_0 - 2, z_0 - 3) \] 3. Điều kiện để \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] \[ (x_0 - 1, y_0 - 2, z_0 - 3) = k \cdot (1, -1, -2) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x_0 - 1 = k \] \[ y_0 - 2 = -k \] \[ z_0 - 3 = -2k \] Giải hệ phương trình này: \[ x_0 = k + 1 \] \[ y_0 = -k + 2 \] \[ z_0 = -2k + 3 \] 4. Vì điểm \(M\) thuộc mặt phẳng (Oyz), tọa độ \(x_0\) của nó phải bằng 0: \[ x_0 = 0 \] \[ k + 1 = 0 \implies k = -1 \] Thay \(k = -1\) vào các phương trình: \[ x_0 = -1 + 1 = 0 \] \[ y_0 = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3 \] \[ z_0 = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5 \] 5. Tính giá trị biểu thức \(x_0 + y_0 + z_0\): \[ x_0 + y_0 + z_0 = 0 + 3 + 5 = 8 \] Vậy giá trị biểu thức \(x_0 + y_0 + z_0\) là 8. Câu 5: Để tìm tọa độ của điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(MC = 2MB\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \(M\): - Ta biết rằng \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(BC\) và chia đoạn thẳng này theo tỉ số \(MC : MB = 2 : 1\). - Áp dụng công thức tọa độ của điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ số đã cho: \[ M = \left( \frac{x_B + 2x_C}{3}, \frac{y_B + 2y_C}{3}, \frac{z_B + 2z_C}{3} \right) \] - Thay tọa độ của \(B(0;3;1)\) và \(C(-3;6;4)\) vào công thức trên: \[ M = \left( \frac{0 + 2(-3)}{3}, \frac{3 + 2(6)}{3}, \frac{1 + 2(4)}{3} \right) = \left( \frac{-6}{3}, \frac{15}{3}, \frac{9}{3} \right) = (-2, 5, 3) \] 2. Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\): - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] - Thay tọa độ của \(A(2;0;0)\) và \(M(-2;5;3)\) vào công thức trên: \[ AM = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (5 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Vậy độ dài \(AM\) là \(5\sqrt{2}\). Đáp số: \(AM = 5\sqrt{2}\). Câu 6: Để tìm tọa độ của điểm \( M(a; b; c) \) sao cho \(ABCM\) là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Trước tiên, ta tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AC\): \[ D = \left( \frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + 3}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1 \right) \] Tương tự, ta tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(BM\): \[ E = \left( \frac{2 + a}{2}, \frac{-1 + b}{2}, \frac{3 + c}{2} \right) \] Vì \(D\) và \(E\) là cùng một điểm (trung điểm của cả hai đường chéo), ta có: \[ \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1 \right) = \left( \frac{2 + a}{2}, \frac{-1 + b}{2}, \frac{3 + c}{2} \right) \] Bằng cách so sánh từng thành phần, ta có: \[ -\frac{1}{2} = \frac{2 + a}{2} \implies -1 = 2 + a \implies a = -3 \] \[ \frac{5}{2} = \frac{-1 + b}{2} \implies 5 = -1 + b \implies b = 6 \] \[ 1 = \frac{3 + c}{2} \implies 2 = 3 + c \implies c = -1 \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là \(M(-3; 6; -1)\). Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \(P = a^2 + b^2 - c^2\): \[ P = (-3)^2 + 6^2 - (-1)^2 = 9 + 36 - 1 = 44 \] Đáp số: \(P = 44\). Câu 7: Để tìm giá trị của \(a + b + 2c\) của điểm \(D(a; b; c)\) là chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác \(ABC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ \(B\) đến \(A\) và từ \(B\) đến \(C\): - Khoảng cách \(BA\): \[ BA = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] - Khoảng cách \(BC\): \[ BC = \sqrt{(2+4)^2 + (-1-7)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] 2. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: - Điểm \(D\) nằm trên đường phân giác trong góc \(B\), do đó tỉ lệ \(\frac{BD}{DA} = \frac{BC}{CA}\). 3. Tìm tọa độ của \(D\): - Ta biết rằng \(D\) chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ lệ \(\frac{BC}{CA}\): \[ \frac{BD}{DA} = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = 2 \] - Do đó, \(D\) chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ lệ \(2:1\). 4. Sử dụng công thức tọa độ trung điểm và tỉ lệ: - Tọa độ của \(D\) là: \[ D = \left( \frac{2 \cdot (-4) + 1 \cdot 1}{2+1}, \frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{2+1} \right) \] \[ D = \left( \frac{-8 + 1}{3}, \frac{14 + 2}{3}, \frac{10 - 1}{3} \right) = \left( \frac{-7}{3}, \frac{16}{3}, 3 \right) \] 5. Tính giá trị của \(a + b + 2c\): - Với \(a = \frac{-7}{3}\), \(b = \frac{16}{3}\), và \(c = 3\): \[ a + b + 2c = \frac{-7}{3} + \frac{16}{3} + 2 \cdot 3 = \frac{-7 + 16}{3} + 6 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9 \] Vậy giá trị của \(a + b + 2c\) là \(\boxed{9}\). Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác ABC: - Ta tính diện tích tam giác ABC bằng công thức diện tích tam giác trong không gian: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| \] - Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 + 2, 1 - 3, 0 - 1) = (4, -2, -1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-3 + 2, -1 - 3, 1 - 1) = (-1, -4, 0) \] - Tính tích vector $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & -1 \\ -1 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 4) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(-16 - 2) = -4\mathbf{i} + \mathbf{j} - 18\mathbf{k} = (-4, 1, -18) \] - Tính độ dài của vectơ này: \[ \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-18)^2} = \sqrt{16 + 1 + 324} = \sqrt{341} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{341} \] 2. Diện tích hình thang ABCD: - Theo đề bài, diện tích hình thang ABCD là 3 lần diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABCD} = 3 \cdot S_{\Delta ABC} = 3 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{341} = \frac{3}{2} \sqrt{341} \] 3. Tính diện tích tam giác BCD: - Vì ABCD là hình thang với đáy AD, diện tích tam giác BCD cũng bằng diện tích tam giác ABC: \[ S_{\Delta BCD} = S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{341} \] 4. Tìm tọa độ điểm D: - Ta biết rằng diện tích tam giác BCD bằng diện tích tam giác ABC, do đó: \[ S_{\Delta BCD} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \| \] - Tính vectơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-3 - 2, -1 - 1, 1 - 0) = (-5, -2, 1) \] - Tính vectơ $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (a - 2, b - 1, c - 0) = (a - 2, b - 1, c) \] - Tích vector $\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & -2 & 1 \\ a-2 & b-1 & c \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2c - (b-1)) - \mathbf{j}(-5c - (a-2)) + \mathbf{k}(-5(b-1) + 2(a-2)) = (-2c - b + 1, 5c + a - 2, -5b + 5 + 2a - 4) = (-2c - b + 1, 5c + a - 2, 2a - 5b + 1) \] - Độ dài của vectơ này: \[ \| \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \| = \sqrt{(-2c - b + 1)^2 + (5c + a - 2)^2 + (2a - 5b + 1)^2} \] - Diện tích tam giác BCD: \[ S_{\Delta BCD} = \frac{1}{2} \sqrt{(-2c - b + 1)^2 + (5c + a - 2)^2 + (2a - 5b + 1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{341} \] - Do đó: \[ (-2c - b + 1)^2 + (5c + a - 2)^2 + (2a - 5b + 1)^2 = 341 \] 5. Giải phương trình: - Ta thấy rằng để thỏa mãn điều kiện trên, ta có thể chọn các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho: \[ a = -2, b = 3, c = 1 \] - Kiểm tra lại: \[ (-2c - b + 1)^2 + (5c + a - 2)^2 + (2a - 5b + 1)^2 = (-2 \cdot 1 - 3 + 1)^2 + (5 \cdot 1 - 2 - 2)^2 + (2 \cdot -2 - 5 \cdot 3 + 1)^2 = (-4)^2 + (1)^2 + (-18)^2 = 16 + 1 + 324 = 341 \] 6. Tính \(a + b + c\): - \(a + b + c = -2 + 3 + 1 = 2\) Vậy đáp án là: \[ \boxed{2} \] Câu 9: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. - Điểm A trùng với gốc tọa độ O, nên tọa độ của A là $(0;0;0)$. - Điểm B nằm trên trục Ox, nên tọa độ của B là $(8;0;0)$. - Điểm D nằm trên trục Oy, nên tọa độ của D là $(0;6;0)$. - Điểm A' nằm trên trục Oz, nên tọa độ của A' là $(0;0;4)$. Bây giờ, ta xác định tọa độ của điểm C'. Điểm C' là đỉnh đối diện với điểm A trong hình hộp chữ nhật, do đó nó sẽ có tọa độ là $(8;6;4)$. Tọa độ của điểm $C'$ là $(x;y;z) = (8;6;4)$. Tiếp theo, ta tính giá trị của $P = x - 2y + z$: \[ P = 8 - 2 \cdot 6 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Vậy giá trị của $P$ là $\boxed{0}$. Câu 10: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz. - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm B nằm trên tia Ox, do đó tọa độ của B là (3, 0, 0). - Điểm D nằm trên tia Oy, do đó tọa độ của D là (0, 3, 0). - Điểm S nằm trên tia Oz, do đó tọa độ của S là (0, 0, 4). Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm M, trung điểm của đoạn thẳng SC. - Tọa độ của C có thể xác định từ tọa độ của B và D. Vì ABCD là hình vuông cạnh 3, nên C có tọa độ (3, 3, 0). - Tọa độ của M, trung điểm của SC, được tính như sau: \[ M = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 2 \right) \] Do đó, tọa độ của M là \(\left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 2 \right)\). Bây giờ, ta tính giá trị của \( T = x + y - \frac{3}{2}z \): \[ T = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2 \] \[ T = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - 3 \] \[ T = 3 - 3 \] \[ T = 0 \] Vậy giá trị của \( T \) là 0.