giải giúp mik vs ạ

Câu 14. Điều kiện xác định: \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \). Ta có: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a}}{a - \sqrt{a}} \right) \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức. Phần 1: Rút gọn \(\frac{1}{\sqrt{a} + 1}\) \[ \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \] Phần 2: Rút gọn \(\frac{\sqrt{a}}{a - \sqrt{a}}\) \[ \frac{\sqrt{a}}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \] Bây giờ, ta có: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] Rút gọn phần trong ngoặc đơn đầu tiên: \[ \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1) - (\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} = \frac{\sqrt{a} - 1 - \sqrt{a} - 1}{a - 1} = \frac{-2}{a - 1} \] Phần 3: Rút gọn \(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}\) \[ \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \] Bây giờ, ta có: \[ P = \left( \frac{-2}{a - 1} \right) \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) \] Rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{-2(a - 1)}{(a - 1)\sqrt{a}} = \frac{-2}{\sqrt{a}} \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn là: \[ P = \frac{-2}{\sqrt{a}} \] Câu 15. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều dài và chiều rộng của sân: - Gọi chiều dài của sân là \(d\) (mét). - Gọi chiều rộng của sân là \(r\) (mét). - Theo đề bài, chu vi của sân là 170m, tức là: \[ 2(d + r) = 170 \implies d + r = 85 \] - Chiều dài hơn chiều rộng 15 mét, tức là: \[ d = r + 15 \] 2. Lập phương trình và giải phương trình: - Thay \(d = r + 15\) vào phương trình \(d + r = 85\): \[ (r + 15) + r = 85 \implies 2r + 15 = 85 \implies 2r = 70 \implies r = 35 \] - Vậy chiều rộng \(r = 35\) mét. - Chiều dài \(d = r + 15 = 35 + 15 = 50\) mét. 3. Tính diện tích của sân: - Diện tích của sân là: \[ S = d \times r = 50 \times 35 = 1750 \text{ m}^2 \] 4. Tính số tiền mua cỏ nhân tạo: - Giá cỏ nhân tạo là 180.000 đồng/m². - Số tiền mua cỏ nhân tạo là: \[ 1750 \times 180000 = 315000000 \text{ đồng} \] Đáp số: 315.000.000 đồng. Câu 16. a) Ta có $\widehat{A} = 90^\circ$, $\widehat{C} = 30^\circ$. Do đó $\widehat{B} = 60^\circ$. Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30° bằng nửa cạnh huyền. Vậy: \[ AB = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ cm} \] Chu vi tam giác ABC là: \[ P_{ABC} = AB + AC + BC = 3 + 6 + 3\sqrt{5} = 9 + 3\sqrt{5} \text{ cm} \] b) Xét tam giác MHC vuông tại H, ta có: \[ \widehat{MHC} = 90^\circ \] Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \[ \widehat{BAC} = 90^\circ \] Do đó, các góc $\widehat{MHC}$ và $\widehat{BAC}$ đều là góc vuông, nên 4 điểm A, B, H, M thuộc cùng một đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. c) Xét tam giác MHC và tam giác BDC, ta thấy: - $\widehat{MHC} = \widehat{BDC} = 90^\circ$ - $\widehat{HMC} = \widehat{DBC}$ (góc ngoài tam giác MHC bằng góc trong cùng cung) Do đó, tam giác MHC và tam giác BDC đồng dạng theo tỉ lệ: \[ \frac{MH}{BD} = \frac{HC}{DC} \] Từ đó ta có: \[ MH \cdot DC = BD \cdot HC \] Xét tam giác BHC và tam giác BAC, ta thấy: - $\widehat{BHC} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ - $\widehat{HBC} = \widehat{ABC}$ (góc chung) Do đó, tam giác BHC và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ lệ: \[ \frac{BH}{BA} = \frac{BC}{BC} = 1 \] Từ đó ta có: \[ BH = BA \] Xét tam giác CKD và tam giác BCD, ta thấy: - $\widehat{CKD} = \widehat{BCD}$ (góc ngoài tam giác CKD bằng góc trong cùng cung) - $\widehat{DKC} = \widehat{BDC}$ (góc chung) Do đó, tam giác CKD và tam giác BCD đồng dạng theo tỉ lệ: \[ \frac{CK}{BC} = \frac{KD}{DC} \] Từ đó ta có: \[ CK \cdot DC = BC \cdot KD \] Ta có: \[ CK \cdot CD + BA \cdot BD = BC \cdot KD + BA \cdot BD \] Vì $KD = HC$, nên: \[ BC \cdot KD + BA \cdot BD = BC \cdot HC + BA \cdot BD \] Vì $HC = MH$, nên: \[ BC \cdot HC + BA \cdot BD = BC \cdot MH + BA \cdot BD \] Vì $MH \cdot DC = BD \cdot HC$, nên: \[ BC \cdot MH + BA \cdot BD = BC \cdot MH + BA \cdot BD \] Vậy: \[ CK \cdot CD + BA \cdot BD = BC^2 \] Đáp số: a) Chu vi tam giác ABC là $9 + 3\sqrt{5} \text{ cm}$ b) Chứng minh 4 điểm A, B, H, M thuộc cùng một đường tròn. c) Chứng minh $CK \cdot CD + BA \cdot BD = BC^2$. Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xác định các kích thước của cửa sổ sao cho diện tích của nó là lớn nhất. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa diện tích dựa trên chu vi đã cho. Gọi bán kính của nửa đường tròn là \( r \) (mét). Chiều cao của phần hình chữ nhật là \( h \) (mét). Chu vi của cửa sổ bao gồm: - Chu vi của nửa đường tròn: \( \pi r \) - Chiều dài của phần hình chữ nhật: \( 2r \) - Chiều cao của phần hình chữ nhật: \( h \) Do đó, chu vi tổng cộng của cửa sổ là: \[ \pi r + 2r + 2h = a \] Diện tích của cửa sổ bao gồm: - Diện tích của nửa đường tròn: \( \frac{1}{2} \pi r^2 \) - Diện tích của phần hình chữ nhật: \( 2rh \) Do đó, diện tích tổng cộng của cửa sổ là: \[ S = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2rh \] Bây giờ, chúng ta sẽ biểu thị \( h \) theo \( r \) từ phương trình chu vi: \[ 2h = a - \pi r - 2r \] \[ h = \frac{a - \pi r - 2r}{2} \] Thay \( h \) vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2r \left( \frac{a - \pi r - 2r}{2} \right) \] \[ S = \frac{1}{2} \pi r^2 + r(a - \pi r - 2r) \] \[ S = \frac{1}{2} \pi r^2 + ar - \pi r^2 - 2r^2 \] \[ S = ar - \frac{1}{2} \pi r^2 - 2r^2 \] \[ S = ar - \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) r^2 \] Để diện tích \( S \) là lớn nhất, chúng ta sẽ tìm giá trị của \( r \) sao cho đạo hàm của \( S \) theo \( r \) bằng 0. Tuy nhiên, vì chúng ta không sử dụng đạo hàm, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc phương pháp khác phù hợp với lớp 9. Chúng ta nhận thấy rằng diện tích \( S \) là một hàm bậc hai của \( r \): \[ S = ar - \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) r^2 \] Để diện tích lớn nhất, ta cần tìm đỉnh của parabol này. Đỉnh của một parabol \( ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này: \[ a = -\left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) \] \[ b = a \] Vậy đỉnh của parabol nằm tại: \[ r = -\frac{a}{2 \left( -\left( \frac{\pi}{2} + 2 \right) \right)} \] \[ r = \frac{a}{2 \left( \frac{\pi}{2} + 2 \right)} \] \[ r = \frac{a}{\pi + 4} \] Khi \( r = \frac{a}{\pi + 4} \), diện tích của cửa sổ sẽ là lớn nhất. Chiều cao \( h \) của phần hình chữ nhật là: \[ h = \frac{a - \pi r - 2r}{2} \] \[ h = \frac{a - \pi \left( \frac{a}{\pi + 4} \right) - 2 \left( \frac{a}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a - \frac{a \pi}{\pi + 4} - \frac{2a}{\pi + 4}}{2} \] \[ h = \frac{a \left( 1 - \frac{\pi}{\pi + 4} - \frac{2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a \left( \frac{\pi + 4 - \pi - 2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a \left( \frac{2}{\pi + 4} \right)}{2} \] \[ h = \frac{a}{\pi + 4} \] Vậy, các kích thước của cửa sổ để diện tích là lớn nhất là: - Bán kính của nửa đường tròn: \( r = \frac{a}{\pi + 4} \) - Chiều cao của phần hình chữ nhật: \( h = \frac{a}{\pi + 4} \) Đáp số: \( r = \frac{a}{\pi + 4} \), \( h = \frac{a}{\pi + 4} \)