giải giúp tôi bài tập trong ảnh

Bài 5.1: a) Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}$ Ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2+1} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} \] Khi $n \to +\infty$, ta có $\frac{1}{n} \to 0$ và $\frac{1}{n^2} \to 0$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2} \] Vậy $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+n+1}{2n^2+1} = \frac{1}{2}$. b) Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2+2n}-n)$ Ta nhân lượng liên hợp: \[ \sqrt{n^2+2n} - n = \frac{(\sqrt{n^2+2n} - n)(\sqrt{n^2+2n} + n)}{\sqrt{n^2+2n} + n} = \frac{(n^2+2n) - n^2}{\sqrt{n^2+2n} + n} = \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n} + n} \] Rút gọn: \[ \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n} + n} = \frac{2n}{n\left(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1\right)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \] Khi $n \to +\infty$, ta có $\frac{2}{n} \to 0$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{n^2+2n}-n) = 1$. Bài 5.2: a) Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u^2_n}{v_n-u_n}$ Ta biết $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 2$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = 3$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u^2_n}{v_n-u_n} = \frac{\lim_{n\rightarrow+\infty}u^2_n}{\lim_{n\rightarrow+\infty}(v_n-u_n)} = \frac{2^2}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 \] Vậy $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{u^2_n}{v_n-u_n} = 4$. b) Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{u_n+2v_n}$ Ta biết $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 2$ và $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = 3$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{u_n+2v_n} = \sqrt{\lim_{n\rightarrow+\infty}(u_n+2v_n)} = \sqrt{2 + 2 \cdot 3} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy $\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt{u_n+2v_n} = 2\sqrt{2}$. Bài 5.3: a) Tìm giới hạn của dãy số $u_n = \frac{n^2+1}{2n-1}$ Ta có: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n^2+1}{2n-1} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{2n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} \] Khi $n \to +\infty$, ta có $\frac{1}{n^2} \to 0$ và $\frac{2}{n} \to 0$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1 + \frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0}{0 - 0} = \text{không xác định} \] Do đó, giới hạn của dãy số $u_n$ không tồn tại. b) Tìm giới hạn của dãy số $v_n = \sqrt{2n^2+1} - n$ Ta nhân lượng liên hợp: \[ \sqrt{2n^2+1} - n = \frac{(\sqrt{2n^2+1} - n)(\sqrt{2n^2+1} + n)}{\sqrt{2n^2+1} + n} = \frac{(2n^2+1) - n^2}{\sqrt{2n^2+1} + n} = \frac{n^2+1}{\sqrt{2n^2+1} + n} \] Rút gọn: \[ \frac{n^2+1}{\sqrt{2n^2+1} + n} = \frac{n^2(1 + \frac{1}{n^2})}{n(\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} + 1)} = \frac{n(1 + \frac{1}{n^2})}{\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} + 1} \] Khi $n \to +\infty$, ta có $\frac{1}{n^2} \to 0$. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n(1 + \frac{1}{n^2})}{\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{n(1 + 0)}{\sqrt{2 + 0} + 1} = \frac{n}{\sqrt{2} + 1} \] Vậy $\lim_{n\rightarrow+\infty}(\sqrt{2n^2+1} - n) = \frac{n}{\sqrt{2} + 1}$.