Giúp e vs ạ

Câu 4: a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD. E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC nên EF // AC (theo định lý đường trung bình trong tam giác). b) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến đi qua S và song song với AB (hay CD). Do đó, giao tuyến này cũng song song với AC. c) Vì M thuộc SA và B, C thuộc đáy ABCD, mặt phẳng (MBC) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến đi qua M và song song với BC (do BC // AD). d) Vì M thuộc SA, E thuộc AB và F thuộc BC, mặt phẳng (MEF) và (SAC) cắt nhau theo giao tuyến đi qua M và song song với AC (do EF // AC). Đáp án đúng là d) Giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC) là đường thẳng qua M và song song với AC. Câu 1: Để thu gọn biểu thức \( B = \frac{\sin^4 x + 3 \cos^4 x - 1}{\sin^4 x + \cos^2 x + 3 \cos^4 x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích và biến đổi tử số và mẫu số: - Tử số: \( \sin^4 x + 3 \cos^4 x - 1 \) - Mẫu số: \( \sin^4 x + \cos^2 x + 3 \cos^4 x - 1 \) 2. Nhận thấy rằng \( \sin^4 x + 3 \cos^4 x - 1 \) có thể được viết lại: \[ \sin^4 x + 3 \cos^4 x - 1 = (\sin^4 x + \cos^4 x) + 2 \cos^4 x - 1 \] Ta biết rằng: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \] Do đó: \[ \sin^4 x + 3 \cos^4 x - 1 = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) + 2 \cos^4 x - 1 = 2 \cos^4 x - 2 \sin^2 x \cos^2 x \] 3. Nhận thấy rằng \( \sin^4 x + \cos^2 x + 3 \cos^4 x - 1 \) cũng có thể được viết lại: \[ \sin^4 x + \cos^2 x + 3 \cos^4 x - 1 = (\sin^4 x + \cos^4 x) + \cos^2 x + 2 \cos^4 x - 1 \] Ta biết rằng: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x \] Do đó: \[ \sin^4 x + \cos^2 x + 3 \cos^4 x - 1 = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) + \cos^2 x + 2 \cos^4 x - 1 = \cos^2 x + 2 \cos^4 x - 2 \sin^2 x \cos^2 x \] 4. Thu gọn biểu thức: \[ B = \frac{2 \cos^4 x - 2 \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x + 2 \cos^4 x - 2 \sin^2 x \cos^2 x} \] Ta nhận thấy rằng cả tử số và mẫu số đều có chung một nhân tử \( 2 \cos^2 x \): \[ B = \frac{2 \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x)}{\cos^2 x (1 + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x)} \] Rút gọn chung \( \cos^2 x \): \[ B = \frac{2 (\cos^2 x - \sin^2 x)}{1 + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x} \] Ta biết rằng \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \) và \( 1 + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x = 1 + 2 (\cos^2 x - \sin^2 x) = 1 + 2 \cos 2x \): \[ B = \frac{2 \cos 2x}{1 + 2 \cos 2x} \] 5. Biểu thức thu gọn có dạng \( \frac{a}{b} \): \[ B = \frac{2 \cos 2x}{1 + 2 \cos 2x} \] So sánh với \( \frac{a}{b} \), ta có \( a = 2 \) và \( b = 1 + 2 \). 6. Tính giá trị biểu thức \( T = 2a - b \): \[ T = 2 \times 2 - (1 + 2) = 4 - 3 = 1 \] Đáp số: \( T = 1 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của dãy sốithmetic (dãy số cách đều). Trước tiên, ta xác định các thông số: - Số đồng xu ở tầng dưới cùng là \( a_1 = 3020 \) - Mỗi tầng trên ít hơn tầng dưới 120 đồng xu, tức là khoảng cách \( d = -120 \) - Tổng số đồng xu là \( S_n = 23520 \) Công thức tính tổng của dãy sốithmetic là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ 23520 = \frac{n}{2} \left( 2 \times 3020 + (n-1) \times (-120) \right) \] \[ 23520 = \frac{n}{2} \left( 6040 - 120(n-1) \right) \] \[ 23520 = \frac{n}{2} \left( 6040 - 120n + 120 \right) \] \[ 23520 = \frac{n}{2} \left( 6160 - 120n \right) \] \[ 23520 = n \left( 3080 - 60n \right) \] \[ 23520 = 3080n - 60n^2 \] \[ 60n^2 - 3080n + 23520 = 0 \] Chia cả hai vế cho 20 để đơn giản hóa: \[ 3n^2 - 154n + 1176 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-154)^2 - 4 \times 3 \times 1176 \] \[ \Delta = 23716 - 14112 = 9604 \] \[ \sqrt{\Delta} = 98 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{154 \pm 98}{6} \] Ta có hai nghiệm: \[ n_1 = \frac{154 + 98}{6} = \frac{252}{6} = 42 \] \[ n_2 = \frac{154 - 98}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3} \] Vì số tầng phải là số nguyên dương, nên ta loại nghiệm \( n_2 = \frac{28}{3} \). Vậy mô hình kim tự tháp này có tất cả 42 tầng. Đáp số: 42 tầng. Câu 3: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các đường thẳng AC' và B'D' là các đường chéo của hai mặt phẳng song song (AC' thuộc mặt phẳng ABB'A' và B'D' thuộc mặt phẳng DCC'D'). Do đó, MN song song với BA' đồng nghĩa với việc MN nằm trong mặt phẳng song song với ABB'A'. Ta sẽ chứng minh rằng M và N chia AC' và B'D' theo cùng một tỉ số. Xét tam giác ABC' và tam giác AB'D': - AC' và B'D' là các đường chéo của hai mặt phẳng song song, do đó chúng song song với nhau. - MN song song với BA', suy ra MN song song với cả AC' và B'D'. Do MN song song với AC' và B'D', ta có: \[ \frac{MA}{MC'} = \frac{NB'}{ND'} \] Bây giờ, ta xét tam giác ABA' và tam giác CDA': - Vì MN song song với BA', nên theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{MA}{MC'} = \frac{NA'}{NC'} \] Từ đây, ta thấy rằng M và N chia AC' và B'D' theo cùng một tỉ số. Ta gọi tỉ số này là k, tức là: \[ \frac{MA}{MC'} = k \quad \text{và} \quad \frac{NB'}{ND'} = k \] Vì MN song song với BA', ta có: \[ \frac{MA}{MC'} = \frac{NA'}{NC'} \] Do đó, ta có: \[ k = \frac{MA}{MC'} \] Vậy tỉ số \(\frac{MA}{MC}\) là: \[ \boxed{\frac{1}{2}} \] Câu 4: Trước tiên, ta xác định tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là điểm O, nằm ở giao điểm của các đường chéo của hình lập phương. Mặt phẳng đi qua tâm O và song song với mặt phẳng (ABC) sẽ cắt các cạnh A'B', B'C', C'D' và D'A' tại các điểm M, N, P và Q tương ứng. Vì mặt phẳng này song song với mặt phẳng (ABC), nên các đoạn thẳng OM, ON, OP và OQ sẽ song song với các đoạn thẳng OA, OB, OC và OD. Do đó, các tam giác OMA', ONB', OPC' và OQD' sẽ là các tam giác đồng dạng với các tam giác OAD, OBC, OCD và ODA. Ta tính khoảng cách từ tâm O đến các đỉnh của hình lập phương: \[ OA = OB = OC = OD = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] Vì các tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{OP}{OC} = \frac{OQ}{OD} = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ OM = ON = OP = OQ = \frac{5\sqrt{3}}{2} \] Tiếp theo, ta tính diện tích của tứ giác MNPQ. Vì MNPQ là hình vuông (do các tam giác đồng dạng và các cạnh của hình lập phương bằng nhau), ta tính cạnh của hình vuông này: \[ MN = NP = PQ = QM = \frac{10}{2} = 5 \] Diện tích của hình vuông MNPQ là: \[ S_{MNPQ} = 5 \times 5 = 25 \] Vậy diện tích của thiết diện thu được là: \[ \boxed{25} \] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời điểm hòn đá chạm đất: - Khoảng cách từ đỉnh vách đá đến mặt đất là 96 mét. - Khi hòn đá chạm đất, khoảng cách \( s(t) \) sẽ bằng 96 mét. - Ta có phương trình: \[ 16t^2 = 96 \] - Chia cả hai vế cho 16: \[ t^2 = 6 \] - Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ t = \sqrt{6} \approx 2.45 \text{ giây} \] 2. Tính vận tốc của hòn đá khi chạm đất: - Vận tốc của hòn đá được tính bằng đạo hàm của khoảng cách \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d(16t^2)}{dt} = 32t \] - Thay \( t = 2.45 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(2.45) = 32 \times 2.45 \approx 78.4 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc của hòn đá khi chạm đất xấp xỉ là 78.4 m/s. Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\) dựa trên thông tin đã cho và yêu cầu hàm số liên tục. Hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là: \[ y = \begin{cases} 10 & \text{ nếu } 0 < x \leq 0,5 \\ bx + 3,25 & \text{ nếu } 0,5 < x \leq 30 \\ cx + 78,25 & \text{ nếu } x > 30 \end{cases} \] Đầu tiên, chúng ta cần đảm bảo rằng hàm số này là liên tục tại các điểm \(x = 0,5\) và \(x = 30\). 1. Kiểm tra liên tục tại \(x = 0,5\): - Khi \(x = 0,5\), giá trị của hàm số từ phần đầu tiên là \(y = 10\). - Khi \(x = 0,5\), giá trị của hàm số từ phần thứ hai là \(y = b(0,5) + 3,25\). Để hàm số liên tục tại \(x = 0,5\), ta có: \[ 10 = b(0,5) + 3,25 \] Giải phương trình này để tìm \(b\): \[ 10 = 0,5b + 3,25 \\ 10 - 3,25 = 0,5b \\ 6,75 = 0,5b \\ b = \frac{6,75}{0,5} \\ b = 13,5 \] 2. Kiểm tra liên tục tại \(x = 30\): - Khi \(x = 30\), giá trị của hàm số từ phần thứ hai là \(y = b(30) + 3,25\). - Khi \(x = 30\), giá trị của hàm số từ phần thứ ba là \(y = c(30) + 78,25\). Để hàm số liên tục tại \(x = 30\), ta có: \[ b(30) + 3,25 = c(30) + 78,25 \] Thay \(b = 13,5\) vào phương trình: \[ 13,5(30) + 3,25 = c(30) + 78,25 \\ 405 + 3,25 = 30c + 78,25 \\ 408,25 = 30c + 78,25 \\ 408,25 - 78,25 = 30c \\ 330 = 30c \\ c = \frac{330}{30} \\ c = 11 \] 3. Xác định giá trị của \(a\): - Từ bảng giá cước, ta thấy giá mở cửa là \(a\) nghìn đồng. - Khi \(x = 0,5\), giá trị của hàm số từ phần đầu tiên là \(y = 10\). Do đó, giá mở cửa \(a\) nghìn đồng phải bằng 10 nghìn đồng. Vậy, ta có: \[ a = 10 \] \[ b = 13,5 \] \[ c = 11 \] Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\): \[ T = 10 + 13,5 + 11 = 34,5 \] Đáp số: \(T = 34,5\)