Giúp mình với!

Bài 1: a) Rút gọn biểu thức $\sqrt{48} + \sqrt{5\frac{1}{3}} + 2\sqrt{75} - 5\sqrt{1\frac{1}{3}}$ Đầu tiên, ta viết các số dưới dạng phân số: \[ 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}, \quad 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} \] Tiếp theo, rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \] \[ \sqrt{5\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \] \[ 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \times 3} = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \] \[ 5\sqrt{1\frac{1}{3}} = 5\sqrt{\frac{4}{3}} = 5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \] Gộp lại: \[ \sqrt{48} + \sqrt{5\frac{1}{3}} + 2\sqrt{75} - 5\sqrt{1\frac{1}{3}} = 4\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} + 10\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3} \] Tìm mẫu chung và cộng các phân số: \[ = \left(4 + \frac{4}{3}\right)\sqrt{3} + \left(10 - \frac{10}{3}\right)\sqrt{3} \] \[ = \left(\frac{12}{3} + \frac{4}{3}\right)\sqrt{3} + \left(\frac{30}{3} - \frac{10}{3}\right)\sqrt{3} \] \[ = \frac{16}{3}\sqrt{3} + \frac{20}{3}\sqrt{3} \] \[ = \frac{36}{3}\sqrt{3} \] \[ = 12\sqrt{3} \] b) Rút gọn biểu thức $A = \left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}}\right) : \frac{\sqrt{x}-1}{2}$ Điều kiện xác định: $x > 0$, $x \neq 1$ Chúng ta sẽ tìm mẫu chung cho các phân số trong ngoặc: \[ \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số để có mẫu chung: \[ \frac{(x+2)(x+\sqrt{x}+1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)}{(x+\sqrt{x}+1)(x\sqrt{x}-1)} + \frac{(x\sqrt{x}-1)}{(1-\sqrt{x})(x\sqrt{x}-1)} \] Gộp lại: \[ = \frac{(x+2)(x+\sqrt{x}+1) + \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1) + (x\sqrt{x}-1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] Chia cho $\frac{\sqrt{x}-1}{2}$: \[ A = \frac{(x+2)(x+\sqrt{x}+1) + \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1) + (x\sqrt{x}-1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \times \frac{2}{\sqrt{x}-1} \] c) Rút gọn biểu thức $B = \left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + 4\sqrt{x}\right) \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ Điều kiện xác định: $x > 0$ Chúng ta sẽ tìm mẫu chung cho các phân số trong ngoặc: \[ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} + 4\sqrt{x} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số để có mẫu chung: \[ = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2 + 4\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] Gộp lại: \[ = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2 + 4\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \] Nhân với $\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$: \[ B = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2 + 4\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \times \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] Đáp số: a) $12\sqrt{3}$ b) $A = \frac{(x+2)(x+\sqrt{x}+1) + \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1) + (x\sqrt{x}-1)}{(x\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \times \frac{2}{\sqrt{x}-1}$ c) $B = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2 + 4\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \times \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ Bài 2: a) Ta có: $(a_1):~3x+2y=5$ $(a_2):~x-4y=-3$ Nhân cả 2 vế của $(a_2)$ với 2 ta được: $(a_2)':~2x-8y=-6$ Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của $(a_1)$ và $(a_2)'$ ta được: $5x=-1$ $x=\frac{-1}{5}$ Thay vào $(a_2)$ ta được: $\frac{-1}{5}-4y=-3$ $y=\frac{7}{10}$ Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là $\left(\frac{-1}{5};\frac{7}{10}\right)$ b) Thay tọa độ điểm $A(1;-2)$ vào $y=ax+b$ ta được: $a+b=-2$ Thay tọa độ điểm $B(-2;-11)$ vào $y=ax+b$ ta được: $-2a+b=-11$ Giải HPT $\left\{\begin{array}la+b=-2\\-2a+b=-11\end{array}\right.$ Ta được: $a=3;~b=-5$ Vậy $a=3;~b=-5$ c) Nhân cả 2 vế của $(1)$ với 2 ta được: $(1)':~6x-2y=4m-2$ Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của $(1)'$ và $(2)$ ta được: $7x=7m$ $x=m$ Thay vào $(1)$ ta được: $3m-y=2m-1$ $y=m+1$ Theo bài ra ta có: $m^2+(m+1)^2=1$ $m^2+m^2+2m+1=1$ $2m^2+2m=0$ $m(m+1)=0$ $m=0$ hoặc $m=-1$ Vậy $m=0$ hoặc $m=-1$ Bài 3. a) $\frac{3x^2+7x-10}{x}=0$ Điều kiện xác định: $x \neq 0$. Phương trình đã cho tương đương với: \[3x^2 + 7x - 10 = 0\] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Ở đây, $a = 3$, $b = 7$, $c = -10$. Thay vào ta có: \[x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10)}}{2 \cdot 3}\] \[x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{6}\] \[x = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{6}\] \[x = \frac{-7 \pm 13}{6}\] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[x_1 = \frac{-7 + 13}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{-7 - 13}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}\] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ hoặc $x = -\frac{10}{3}$. b) $4x^2 - 25 - 9(2x - 5^2) = 0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định riêng biệt. Phương trình đã cho tương đương với: \[4x^2 - 25 - 9(2x - 25) = 0\] \[4x^2 - 25 - 18x + 225 = 0\] \[4x^2 - 18x + 200 = 0\] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[2x^2 - 9x + 100 = 0\] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Ở đây, $a = 2$, $b = -9$, $c = 100$. Thay vào ta có: \[x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 100}}{2 \cdot 2}\] \[x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 800}}{4}\] \[x = \frac{9 \pm \sqrt{-719}}{4}\] Vì $\sqrt{-719}$ là số phức, nên phương trình này không có nghiệm thực. Vậy phương trình $2x^2 - 9x + 100 = 0$ không có nghiệm thực. Đáp số: a) $x = 1$ hoặc $x = -\frac{10}{3}$ b) Phương trình không có nghiệm thực. Bài 4: a) Cho \(a > b\). Chứng minh: \(2a + 3 > 2b + 3\). - Vì \(a > b\), nên nhân cả hai vế với 2 ta được: \[2a > 2b\] - Thêm 3 vào cả hai vế ta được: \[2a + 3 > 2b + 3\] Vậy ta đã chứng minh được \(2a + 3 > 2b + 3\). b) Cho \(a < b\). Chứng minh: \(\frac{a}{2025} < \frac{b}{2025}\). - Vì \(a < b\), nên chia cả hai vế cho 2025 ta được: \[\frac{a}{2025} < \frac{b}{2025}\] Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{a}{2025} < \frac{b}{2025}\).