Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. chứng minh : A là trung đi...

Bài 1: Để chứng minh rằng A là trung điểm của MN, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - Ta có tam giác ABC. - D là trung điểm của AB, tức là AD = DB. - E là trung điểm của AC, tức là AE = EC. - Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. - Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. 2. Chứng minh các tam giác bằng nhau: - Xét tam giác ADE và tam giác CDB: - AD = DB (D là trung điểm của AB). - AE = EC (E là trung điểm của AC). - ∠AED = ∠CDB (hai góc đối đỉnh). - Do đó, tam giác ADE bằng tam giác CDB (cạnh - góc - cạnh). 3. Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: - Vì tam giác ADE bằng tam giác CDB, nên DE = DB. - Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Do đó, tam giác ADM bằng tam giác CDM (cạnh - góc - cạnh). - Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. Do đó, tam giác AEN bằng tam giác BEN (cạnh - góc - cạnh). 4. Chứng minh A là trung điểm của MN: - Vì tam giác ADM bằng tam giác CDM, nên AM = CM. - Vì tam giác AEN bằng tam giác BEN, nên AN = BN. - Kết hợp các kết quả trên, ta có: - AM = CM và AN = BN. - Do đó, A là trung điểm của MN. Vậy, ta đã chứng minh được rằng A là trung điểm của MN. Ví dụ 1. Xét tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Ta có: - AM = MC (vì M là trung điểm của AC) - Xét tam giác ACM và tam giác DCB: - AC = CB (vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của AC) - AM = MC (vì M là trung điểm của AC) - $\angle CAM = \angle CBD$ (vì tia Cx vuông góc với CA và CD = AB) Do đó, tam giác ACM và tam giác DCB bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn. Từ đó ta có: - $\angle AMC = \angle DBC$ - Vì $\angle AMC = \angle DBC$, nên ba điểm B, M, D thẳng hàng. Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng. BÀI 2: Xét tam giác ABD và tam giác ACE: - AB = AD (theo đề bài) - AC = AE (theo đề bài) - Góc BAD = góc CAE (vì chúng là hai góc đối đỉnh) Do đó, tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có: - Góc ABD = góc ACE (hai góc tương ứng trong tam giác bằng nhau) - Góc ADB = góc AEC (hai góc tương ứng trong tam giác bằng nhau) Xét tam giác ACM và tam giác AEN: - AC = AE (theo đề bài) - CM = EN (theo đề bài) - Góc ACM = góc AEN (vì góc ACM = 180° - góc ACE và góc AEN = 180° - góc AEC, mà góc ACE = góc AEC) Do đó, tam giác ACM và tam giác AEN bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có: - Góc CAM = góc EAN (hai góc tương ứng trong tam giác bằng nhau) Vì tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau nên góc BAM = góc EAN. Vậy tam giác BAM và tam giác EAN có: - Góc BAM = góc EAN - Góc BAM + góc CAM = góc EAN + góc EAN = 180° Do đó, ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài 3: Để chứng minh rằng A là trung điểm của MN, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - Ta có tam giác ABC. - D là trung điểm của AB, tức là AD = DB. - E là trung điểm của AC, tức là AE = EC. - Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. - Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. 2. Chứng minh các tam giác bằng nhau: - Xét tam giác ADE và tam giác CDB: - AD = DB (D là trung điểm của AB). - AE = EC (E là trung điểm của AC). - ∠AED = ∠CDB (hai góc đối đỉnh). - Do đó, tam giác ADE bằng tam giác CDB (cạnh - góc - cạnh). 3. Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: - Vì tam giác ADE bằng tam giác CDB, nên DE = DB. - Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Do đó, tam giác ADM bằng tam giác CDM (cạnh - góc - cạnh). - Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. Do đó, tam giác AEN bằng tam giác BEN (cạnh - góc - cạnh). 4. Chứng minh A là trung điểm của MN: - Vì tam giác ADM bằng tam giác CDM, nên AM = CM. - Vì tam giác AEN bằng tam giác BEN, nên AN = BN. - Kết hợp các kết quả trên, ta có: - AM = CM và AN = BN. - Do đó, A là trung điểm của MN. Vậy, ta đã chứng minh được rằng A là trung điểm của MN. Bài 4: Để chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng cách so sánh các đoạn thẳng và góc liên quan. 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. - Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. - Gọi M là trung điểm của BE. - Gọi N là trung điểm của CD. 2. So sánh các đoạn thẳng: - Vì AD = AC nên tam giác ACD là tam giác cân tại A. - Vì AE = AB nên tam giác ABE là tam giác cân tại A. 3. Xét các tam giác: - Xét tam giác ABE và tam giác ACD: - AB = AE (theo đề bài) - AC = AD (theo đề bài) - Góc BAE = góc CAD (vì chúng là góc đối đỉnh) Do đó, tam giác ABE và tam giác ACD bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (cạnh AB = cạnh AE, góc BAE = góc CAD, cạnh AC = cạnh AD). 4. Tính chất của tam giác bằng nhau: - Vì tam giác ABE và tam giác ACD bằng nhau nên BE = CD. 5. Xét các trung điểm: - M là trung điểm của BE nên BM = ME. - N là trung điểm của CD nên CN = ND. 6. So sánh các đoạn thẳng liên quan: - Vì BE = CD nên BM = ME = CN = ND. 7. Xét tam giác AMB và tam giác ANC: - AB = AC (vì tam giác ABE và tam giác ACD bằng nhau) - BM = CN (vì BE = CD và M, N là trung điểm) - Góc BAM = góc CAN (vì chúng là góc đối đỉnh) Do đó, tam giác AMB và tam giác ANC bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (cạnh AB = cạnh AC, góc BAM = góc CAN, cạnh BM = cạnh CN). 8. Kết luận: - Vì tam giác AMB và tam giác ANC bằng nhau nên góc BAM = góc CAN. - Điều này chứng tỏ rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh được ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài 5: Ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên AC = AB. - CE = BD (theo đề bài). - Do đó, tam giác ACE và tam giác ABD có AC = AB, CE = BD và chung góc CEA = góc BDA (góc giữa hai tia đối). - Vậy tam giác ACE và tam giác ABD bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó, ta có AE = AD và góc CAE = góc BAD. - Vì tam giác ACE và tam giác ABD bằng nhau nên góc CAE = góc BAD. - Ta có góc CAE + góc CAD = góc BAD + góc CAD = góc CAB. - Do đó, tam giác ADE cân tại A với đáy DE. - Kẻ đường cao AM từ đỉnh A xuống đáy DE, ta có AM vuông góc với DE tại M. - Mặt khác, ta có DK vuông góc với BC tại K và BH vuông góc với BC tại H. - Vì tam giác ADE cân tại A nên đường cao AM cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ADE. - Do đó, M là trung điểm của DE. - Kết hợp với M là trung điểm của HK, ta có M là trung điểm chung của DE và HK. - Vậy ba điểm D, M, E thẳng hàng.