giải chi tiết cách làm

Câu 1. Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 + 2x + 2)'(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Ta có: \[ (x^2 + 2x + 2)' = 2x + 2 \] và \[ (x + 1)' = 1 \] Do đó: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ (2x + 2)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2 \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 2 - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x - 2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \): Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x(x + 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ (x + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng: Ta xét dấu của \( y' \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm \( x = -2, x = -1, x = 0 \): - Khi \( x < -2 \): \( x(x + 2) > 0 \) và \( (x + 1)^2 > 0 \) nên \( y' > 0 \) - Khi \( -2 < x < -1 \): \( x(x + 2) < 0 \) và \( (x + 1)^2 > 0 \) nên \( y' < 0 \) - Khi \( -1 < x < 0 \): \( x(x + 2) < 0 \) và \( (x + 1)^2 > 0 \) nên \( y' < 0 \) - Khi \( x > 0 \): \( x(x + 2) > 0 \) và \( (x + 1)^2 > 0 \) nên \( y' > 0 \) 4. Xác định các khoảng nghịch biến: Các khoảng nghịch biến của hàm số là: \[ (-2, -1) \quad \text{và} \quad (-1, 0) \] 5. Tính \( T = a + b + c \): Với \( a = -2 \), \( b = -1 \), \( c = 0 \): \[ T = a + b + c = -2 + (-1) + 0 = -3 \] Đáp số: \( T = -3 \) Câu 2. Để tìm tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của điểm A và điểm B. - Điểm A treo chính giữa bức tường 8m và cách trần 1m. Vì vậy, tọa độ của điểm A là: - Chiều dài: 8m, chính giữa là 4m. - Chiều rộng: 6m, bất kỳ vị trí nào trên bức tường này đều có thể là 0 hoặc 6m, nhưng vì không có thông tin cụ thể, chúng ta sẽ chọn 0m. - Chiều cao: 4m - 1m = 3m. Do đó, tọa độ của điểm A là \(A(4; 0; 3)\). - Điểm B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m. Vì vậy, tọa độ của điểm B là: - Chiều dài: 8m, bất kỳ vị trí nào trên bức tường này đều có thể là 0 hoặc 8m, nhưng vì không có thông tin cụ thể, chúng ta sẽ chọn 0m. - Chiều rộng: 6m, chính giữa là 3m. - Chiều cao: 4m - 1,5m = 2,5m. Do đó, tọa độ của điểm B là \(B(0; 3; 2,5)\). Bây giờ, chúng ta tính tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 4; 3 - 0; 2,5 - 3) = (-4; 3; -0,5) \] Vậy tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là \((-4; 3; -0,5)\). Tiếp theo, chúng ta tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b - c\): \[ T = 2(-4) + 3 - (-0,5) = -8 + 3 + 0,5 = -4,5 \] Đáp số: \(T = -4,5\) Câu 3. Để tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó, \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), và \( C(x_C, y_C, z_C) \). Áp dụng vào bài toán, ta có: - \( A(0, -1, 1) \) - \( B(2, -3, 2) \) - \( C(4, -2, 3) \) Tọa độ trọng tâm G sẽ là: \[ G\left(\frac{0 + 2 + 4}{3}, \frac{-1 + (-3) + (-2)}{3}, \frac{1 + 2 + 3}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{6}{3}, \frac{-6}{3}, \frac{6}{3}\right) \] \[ G(2, -2, 2) \] Do đó, tọa độ của trọng tâm G là \( (2, -2, 2) \). Tổng \( x + y + z \) là: \[ x + y + z = 2 + (-2) + 2 = 2 \] Vậy, \( x + y + z = 2 \). Câu 4. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là khoảng giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của dữ liệu. Theo bảng thống kê, thời gian sử dụng liên tục của pin máy vi tính từ lúc sạc đầy cho đến khi hết dao động trong khoảng từ [7,2; 8,0). Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: 8,0 - 7,2 = 0,8 (giờ) Đáp số: 0,8 giờ Câu 5. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị tứ phân vị: - Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu. - Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu. 2. Tính tổng số lượng quả xoài: Tổng số lượng quả xoài là 50 quả. 3. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1: \( \frac{50}{4} = 12.5 \). Do đó, Q1 nằm trong khoảng từ 12 đến 13. - Vị trí của Q3: \( \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \). Do đó, Q3 nằm trong khoảng từ 37 đến 38. 4. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: [290;330) vì 12 quả xoài nằm trong khoảng này. - Khoảng chứa Q3: [370;410) vì 37 quả xoài nằm trong khoảng này. 5. Tính giá trị cụ thể của Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [290;330). - Giới hạn dưới của khoảng là 290. - Số lượng quả xoài trong khoảng trước đó là 2 + 12 = 14 quả. - Số lượng quả xoài trong khoảng này là 19 quả. - Vị trí của Q1 trong khoảng này là \( 12.5 - 14 = -1.5 \) (chuyển sang khoảng tiếp theo). - Do đó, Q1 = 290 + \( \frac{-1.5}{19} \times 40 \) = 290 + \( \frac{-60}{19} \) ≈ 290 - 3.16 = 286.84. - Q3 nằm trong khoảng [370;410). - Giới hạn dưới của khoảng là 370. - Số lượng quả xoài trong khoảng trước đó là 2 + 12 + 19 = 33 quả. - Số lượng quả xoài trong khoảng này là 12 quả. - Vị trí của Q3 trong khoảng này là \( 37.5 - 33 = 4.5 \). - Do đó, Q3 = 370 + \( \frac{4.5}{12} \times 40 \) = 370 + \( \frac{180}{12} \) = 370 + 15 = 385. 6. Kết luận: - Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là từ 286.84 đến 385. Đáp số: Khoảng tứ phân vị là từ 286.84 đến 385.