Tìm các số nguyên tố $x$ và $y$ sao cho $51x+26y=2000$

Để tìm các số nguyên tố $x$ và $y$ sao cho $51x + 26y = 2000$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các số nguyên tố: Các số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó. 2. Kiểm tra các trường hợp khả thi: - Ta thấy rằng $51x$ và $26y$ đều phải là các số chẵn hoặc lẻ để tổng của chúng là 2000 (số chẵn). Do đó, cả $x$ và $y$ phải là các số chẵn hoặc lẻ. 3. Kiểm tra các số nguyên tố nhỏ: - Các số nguyên tố nhỏ là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... 4. Thử các giá trị của $x$ và $y$: - Ta thử các giá trị của $x$ và $y$ lần lượt từ các số nguyên tố nhỏ nhất. Thử $x = 2$: \[ 51 \times 2 + 26y = 2000 \\ 102 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 102 \\ 26y = 1898 \\ y = \frac{1898}{26} = 73 \] - Ta thấy $y = 73$ là một số nguyên tố. Thử $x = 3$: \[ 51 \times 3 + 26y = 2000 \\ 153 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 153 \\ 26y = 1847 \\ y = \frac{1847}{26} \approx 71.038 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 5$: \[ 51 \times 5 + 26y = 2000 \\ 255 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 255 \\ 26y = 1745 \\ y = \frac{1745}{26} \approx 67.115 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 7$: \[ 51 \times 7 + 26y = 2000 \\ 357 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 357 \\ 26y = 1643 \\ y = \frac{1643}{26} \approx 63.192 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 11$: \[ 51 \times 11 + 26y = 2000 \\ 561 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 561 \\ 26y = 1439 \\ y = \frac{1439}{26} \approx 55.346 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 13$: \[ 51 \times 13 + 26y = 2000 \\ 663 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 663 \\ 26y = 1337 \\ y = \frac{1337}{26} \approx 51.423 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 17$: \[ 51 \times 17 + 26y = 2000 \\ 867 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 867 \\ 26y = 1133 \\ y = \frac{1133}{26} \approx 43.577 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 19$: \[ 51 \times 19 + 26y = 2000 \\ 969 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 969 \\ 26y = 1031 \\ y = \frac{1031}{26} \approx 39.654 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 23$: \[ 51 \times 23 + 26y = 2000 \\ 1173 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 1173 \\ 26y = 827 \\ y = \frac{827}{26} \approx 31.808 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 29$: \[ 51 \times 29 + 26y = 2000 \\ 1479 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 1479 \\ 26y = 521 \\ y = \frac{521}{26} \approx 20.038 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 31$: \[ 51 \times 31 + 26y = 2000 \\ 1581 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 1581 \\ 26y = 419 \\ y = \frac{419}{26} \approx 16.115 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 37$: \[ 51 \times 37 + 26y = 2000 \\ 1887 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 1887 \\ 26y = 113 \\ y = \frac{113}{26} \approx 4.346 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Thử $x = 41$: \[ 51 \times 41 + 26y = 2000 \\ 2091 + 26y = 2000 \\ 26y = 2000 - 2091 \\ 26y = -91 \\ y = \frac{-91}{26} \approx -3.5 \] - Ta thấy $y$ không phải là số nguyên tố. Kết luận: - Chỉ có trường hợp $x = 2$ và $y = 73$ thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy các số nguyên tố $x$ và $y$ sao cho $51x + 26y = 2000$ là $x = 2$ và $y = 73$.