Bài 1
Gọi tử của ba phân số lần lượt là \(a, b, c\) và mẫu của ba phân số lần lượt là \(d, e, f\).
Theo đề bài, ta có:
\[ \frac{a}{d} + \frac{b}{e} + \frac{c}{f} = \frac{213}{70} \]
Tử của chúng tỉ lệ với 3:4:5, tức là:
\[ a : b : c = 3 : 4 : 5 \]
Mẫu của chúng tỉ lệ với 5:1:2, tức là:
\[ d : e : f = 5 : 1 : 2 \]
Ta có thể viết:
\[ a = 3k, \quad b = 4k, \quad c = 5k \]
\[ d = 5l, \quad e = l, \quad f = 2l \]
Thay vào biểu thức tổng của ba phân số:
\[ \frac{3k}{5l} + \frac{4k}{l} + \frac{5k}{2l} = \frac{213}{70} \]
Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{3k}{5l} + \frac{4k \times 5}{l \times 5} + \frac{5k \times 5}{2l \times 5} = \frac{213}{70} \]
\[ \frac{3k}{5l} + \frac{20k}{5l} + \frac{25k}{10l} = \frac{213}{70} \]
Quy đồng mẫu số chung là 10l:
\[ \frac{6k}{10l} + \frac{40k}{10l} + \frac{25k}{10l} = \frac{213}{70} \]
\[ \frac{6k + 40k + 25k}{10l} = \frac{213}{70} \]
\[ \frac{71k}{10l} = \frac{213}{70} \]
Bằng cách so sánh hai phân số này, ta có:
\[ \frac{71k}{10l} = \frac{213}{70} \]
Nhân cả hai vế với 70:
\[ 71k \times 7 = 213 \times 10l \]
\[ 497k = 2130l \]
Chia cả hai vế cho 497:
\[ k = \frac{2130l}{497} \]
\[ k = \frac{2130}{497}l \]
\[ k = 4.2857l \approx 4.29l \]
Do đó, ta có:
\[ a = 3k = 3 \times 4.29l = 12.87l \]
\[ b = 4k = 4 \times 4.29l = 17.16l \]
\[ c = 5k = 5 \times 4.29l = 21.45l \]
\[ d = 5l \]
\[ e = l \]
\[ f = 2l \]
Vậy ba phân số là:
\[ \frac{12.87l}{5l}, \quad \frac{17.16l}{l}, \quad \frac{21.45l}{2l} \]
Đơn giản hóa:
\[ \frac{12.87}{5}, \quad \frac{17.16}{1}, \quad \frac{21.45}{2} \]
Để dễ hiểu hơn, ta có thể chọn \( l = 1 \):
\[ \frac{12.87}{5}, \quad \frac{17.16}{1}, \quad \frac{21.45}{2} \]
Đơn giản hóa:
\[ \frac{12.87}{5} = 2.574, \quad \frac{17.16}{1} = 17.16, \quad \frac{21.45}{2} = 10.725 \]
Vậy ba phân số là:
\[ \frac{12.87}{5}, \quad \frac{17.16}{1}, \quad \frac{21.45}{2} \]
Đáp số: $\frac{12.87}{5}, \frac{17.16}{1}, \frac{21.45}{2}$
Bài2
Bài 1:
Gọi số học sinh khối 7, 8, 9 lần lượt là: a, b, c (điều kiện: a, b, c > 0)
Theo đề bài ta có:
- Số học sinh khối 7 và 8 tỉ lệ với 1 và 3, tức là $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$ hay $b = 3a$
- Số học sinh khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5, tức là $\frac{b}{c} = \frac{4}{5}$ hay $c = \frac{5}{4}b$
Thay $b = 3a$ vào $c = \frac{5}{4}b$, ta có:
\[ c = \frac{5}{4} \times 3a = \frac{15}{4}a \]
Tổng số học sinh của ba khối là:
\[ a + b + c = a + 3a + \frac{15}{4}a = \frac{4a + 12a + 15a}{4} = \frac{31a}{4} \]
Tổng khối lượng đất mà ba khối chuyên chở được là 912 m³. Ta có:
\[ 1,2a + 1,4b + 1,6c = 912 \]
Thay $b = 3a$ và $c = \frac{15}{4}a$ vào phương trình trên:
\[ 1,2a + 1,4(3a) + 1,6\left(\frac{15}{4}a\right) = 912 \]
\[ 1,2a + 4,2a + 6a = 912 \]
\[ 11,4a = 912 \]
\[ a = \frac{912}{11,4} = 80 \]
Vậy số học sinh của mỗi khối là:
- Khối 7: $a = 80$
- Khối 8: $b = 3a = 3 \times 80 = 240$
- Khối 9: $c = \frac{15}{4}a = \frac{15}{4} \times 80 = 300$
Bài 2:
Gọi số ngày làm việc của máy 1, máy 2, máy 3 lần lượt là: 3k, 4k, 5k (điều kiện: k > 0)
Gọi số giờ làm việc của máy 1, máy 2, máy 3 lần lượt là: 6l, 7l, 8l (điều kiện: l > 0)
Gọi công suất của máy 1, máy 2, máy 3 lần lượt là: $\frac{1}{5}m$, $\frac{1}{4}m$, $\frac{1}{3}m$ (điều kiện: m > 0)
Khối lượng thóc mà máy 1, máy 2, máy 3 xay được lần lượt là:
- Máy 1: $3k \times 6l \times \frac{1}{5}m = \frac{18klm}{5}$
- Máy 2: $4k \times 7l \times \frac{1}{4}m = 7klm$
- Máy 3: $5k \times 8l \times \frac{1}{3}m = \frac{40klm}{3}$
Tổng khối lượng thóc mà ba máy xay được là 359 tấn, ta có:
\[ \frac{18klm}{5} + 7klm + \frac{40klm}{3} = 359 \]
Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{54klm + 105klm + 200klm}{15} = 359 \]
\[ \frac{359klm}{15} = 359 \]
\[ klm = 15 \]
Vậy khối lượng thóc mà mỗi máy xay được là:
- Máy 1: $\frac{18klm}{5} = \frac{18 \times 15}{5} = 54$ tấn
- Máy 2: $7klm = 7 \times 15 = 105$ tấn
- Máy 3: $\frac{40klm}{3} = \frac{40 \times 15}{3} = 200$ tấn
Bài 3:
Gọi vận tốc ban đầu là 4 km/h, thời gian dự định là t giờ.
Gọi vận tốc sau khi tăng là 3 km/h, thời gian thực tế là t' giờ.
Theo đề bài, người đó đi được $\frac{4}{5}$ quãng đường AC với vận tốc 4 km/h trong thời gian $\frac{4}{5}t$ giờ.
Sau đó, người đó đi tiếp với vận tốc 3 km/h trong thời gian còn lại là $t' - \frac{4}{5}t$ giờ.
Thời gian thực tế là 12h - 11h45 = 15 phút = 0,25 giờ.
Ta có phương trình:
\[ 4 \times \frac{4}{5}t + 3 \times (t' - \frac{4}{5}t) = 4t' \]
Biến đổi phương trình:
\[ \frac{16}{5}t + 3t' - \frac{12}{5}t = 4t' \]
\[ \frac{4}{5}t = t' \]
Vì thời gian thực tế là 0,25 giờ, ta có:
\[ t' = 0,25 \]
\[ t = \frac{5}{4} \times 0,25 = 0,3125 \text{ giờ} \]
Quãng đường AB là:
\[ 4 \times 0,3125 = 1,25 \text{ km} \]
Vậy quãng đường AB là 1,25 km.