BÀI 2.
1. $\frac{12}{19}.\frac{7}{15}.\frac{-13}{17}.\frac{19}{12}.\frac{17}{13}$
Ta nhóm các phân số lại để dễ tính:
\[
\left( \frac{12}{19} . \frac{19}{12} \right) . \left( \frac{7}{15} . \frac{15}{7} \right) . \left( \frac{-13}{17} . \frac{17}{13} \right)
\]
Mỗi cặp phân số này đều bằng 1:
\[
1 . 1 . (-1) = -1
\]
2. $\frac{9}{23} . \frac{5}{8} + \frac{9}{23} . \frac{3}{8} - \frac{9}{23}$
Ta thấy $\frac{9}{23}$ là thừa số chung:
\[
\frac{9}{23} \left( \frac{5}{8} + \frac{3}{8} - 1 \right)
\]
Tính trong ngoặc trước:
\[
\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1
\]
Tiếp tục:
\[
1 - 1 = 0
\]
Vậy:
\[
\frac{9}{23} . 0 = 0
\]
3. $\frac{-7}{11} . \frac{11}{19} + \frac{-7}{11} . \frac{8}{19} + \frac{-4}{11}$
Ta thấy $\frac{-7}{11}$ là thừa số chung:
\[
\frac{-7}{11} \left( \frac{11}{19} + \frac{8}{19} \right) + \frac{-4}{11}
\]
Tính trong ngoặc trước:
\[
\frac{11}{19} + \frac{8}{19} = \frac{19}{19} = 1
\]
Tiếp tục:
\[
\frac{-7}{11} . 1 + \frac{-4}{11} = \frac{-7}{11} + \frac{-4}{11} = \frac{-11}{11} = -1
\]
4. $0,25 . 2\frac{1}{3} + 30,0,5 . \frac{8}{45}$
Chuyển hỗn số và thập phân thành phân số:
\[
0,25 = \frac{1}{4}, \quad 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}, \quad 30,0,5 = 30,5 = \frac{61}{2}
\]
Ta có:
\[
\frac{1}{4} . \frac{7}{3} + \frac{61}{2} . \frac{8}{45}
\]
Tính từng phần:
\[
\frac{1}{4} . \frac{7}{3} = \frac{7}{12}
\]
\[
\frac{61}{2} . \frac{8}{45} = \frac{61 \times 8}{2 \times 45} = \frac{488}{90} = \frac{244}{45}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{7}{12} = \frac{7 \times 45}{12 \times 45} = \frac{315}{540}
\]
\[
\frac{244}{45} = \frac{244 \times 12}{45 \times 12} = \frac{2928}{540}
\]
Cộng hai phân số:
\[
\frac{315}{540} + \frac{2928}{540} = \frac{3243}{540} = \frac{1081}{180}
\]
5. $\frac{2 . (-13) . 9 . 10}{(-3) . 4 . (-5) . 26}$
Ta thấy các số âm và dương có thể giản ước:
\[
\frac{2 . (-13) . 9 . 10}{(-3) . 4 . (-5) . 26} = \frac{2 . (-13) . 9 . 10}{(-3) . 4 . (-5) . 2 . 13}
\]
Giản ước các số giống nhau:
\[
\frac{2 . (-13) . 9 . 10}{(-3) . 4 . (-5) . 2 . 13} = \frac{9 . 10}{(-3) . 4 . (-5)} = \frac{90}{60} = \frac{3}{2}
\]
6. $\frac{15 . 8 + 15 . 4}{12 . 3}$
Ta thấy 15 là thừa số chung ở tử số:
\[
\frac{15 (8 + 4)}{12 . 3} = \frac{15 \times 12}{12 \times 3}
\]
Giản ước:
\[
\frac{15 \times 12}{12 \times 3} = \frac{15}{3} = 5
\]
Đáp số:
1. -1
2. 0
3. -1
4. $\frac{1081}{180}$
5. $\frac{3}{2}$
6. 5
BÀI 3:
1. $(\frac{-4}{5} + \frac{4}{3}) + (\frac{-5}{4} + \frac{14}{5}) - \frac{7}{3}$
Ta nhóm các phân số có cùng mẫu số lại với nhau:
\[
= \left( \frac{-4}{5} + \frac{14}{5} \right) + \left( \frac{4}{3} - \frac{7}{3} \right) + \frac{-5}{4}
\]
\[
= \frac{-4 + 14}{5} + \frac{4 - 7}{3} + \frac{-5}{4}
\]
\[
= \frac{10}{5} + \frac{-3}{3} + \frac{-5}{4}
\]
\[
= 2 + (-1) + \frac{-5}{4}
\]
\[
= 1 + \frac{-5}{4}
\]
\[
= \frac{4}{4} + \frac{-5}{4}
\]
\[
= \frac{4 - 5}{4}
\]
\[
= \frac{-1}{4}
\]
2. $\frac{8}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot 10 \cdot \frac{19}{92}$
Ta nhóm các phân số có thể giản ước lại với nhau:
\[
= \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{8} \right) \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot 10 \right) \cdot \frac{19}{92}
\]
\[
= 1 \cdot 4 \cdot \frac{19}{92}
\]
\[
= \frac{4 \cdot 19}{92}
\]
\[
= \frac{76}{92}
\]
\[
= \frac{19}{23}
\]
3. $\frac{-5}{7} \cdot \frac{2}{11} + \frac{-5}{7} \cdot \frac{9}{14} + 1 \frac{5}{7}$
Ta nhóm các phân số có cùng tử số lại với nhau:
\[
= \frac{-5}{7} \left( \frac{2}{11} + \frac{9}{14} \right) + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-5}{7} \left( \frac{2 \cdot 14 + 9 \cdot 11}{11 \cdot 14} \right) + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-5}{7} \left( \frac{28 + 99}{154} \right) + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-5}{7} \left( \frac{127}{154} \right) + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-5 \cdot 127}{7 \cdot 154} + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-635}{1078} + 1 \frac{5}{7}
\]
\[
= \frac{-635}{1078} + \frac{12}{7}
\]
\[
= \frac{-635}{1078} + \frac{12 \cdot 154}{7 \cdot 154}
\]
\[
= \frac{-635}{1078} + \frac{1848}{1078}
\]
\[
= \frac{-635 + 1848}{1078}
\]
\[
= \frac{1213}{1078}
\]
4. $(-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + (0,8 - 2 \frac{4}{15}) : 1 \frac{23}{24}$
Ta thực hiện các phép tính từng bước:
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{8}{10} - \frac{34}{15} \right) : \frac{47}{24}
\]
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{4}{5} - \frac{34}{15} \right) : \frac{47}{24}
\]
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{12}{15} - \frac{34}{15} \right) : \frac{47}{24}
\]
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{12 - 34}{15} \right) : \frac{47}{24}
\]
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{-22}{15} \right) : \frac{47}{24}
\]
\[
= (-3,2) \cdot \frac{-15}{64} + \left( \frac{-22}{15} \right) \cdot \frac{24}{47}
\]
\[
= \frac{32}{10} \cdot \frac{15}{64} + \frac{-22 \cdot 24}{15 \cdot 47}
\]
\[
= \frac{32 \cdot 15}{10 \cdot 64} + \frac{-528}{705}
\]
\[
= \frac{480}{640} + \frac{-528}{705}
\]
\[
= \frac{3}{4} + \frac{-528}{705}
\]
\[
= \frac{3 \cdot 705}{4 \cdot 705} + \frac{-528 \cdot 4}{705 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{2115}{2820} + \frac{-2112}{2820}
\]
\[
= \frac{2115 - 2112}{2820}
\]
\[
= \frac{3}{2820}
\]
\[
= \frac{1}{940}
\]
5. $(-0,75 + \frac{1}{2}) : \frac{4}{3}$
Ta thực hiện các phép tính từng bước:
\[
= \left( \frac{-3}{4} + \frac{1}{2} \right) : \frac{4}{3}
\]
\[
= \left( \frac{-3}{4} + \frac{2}{4} \right) : \frac{4}{3}
\]
\[
= \left( \frac{-3 + 2}{4} \right) : \frac{4}{3}
\]
\[
= \left( \frac{-1}{4} \right) : \frac{4}{3}
\]
\[
= \frac{-1}{4} \cdot \frac{3}{4}
\]
\[
= \frac{-3}{16}
\]
6. $7,5 \cdot 1 \frac{3}{4} - 6 \frac{2}{5}$
Ta thực hiện các phép tính từng bước:
\[
= 7,5 \cdot \frac{7}{4} - \frac{32}{5}
\]
\[
= \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{4} - \frac{32}{5}
\]
\[
= \frac{15 \cdot 7}{2 \cdot 4} - \frac{32}{5}
\]
\[
= \frac{105}{8} - \frac{32}{5}
\]
\[
= \frac{105 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 8}{5 \cdot 8}
\]
\[
= \frac{525}{40} - \frac{256}{40}
\]
\[
= \frac{525 - 256}{40}
\]
\[
= \frac{269}{40}
\]
7. $0,75 - \frac{43}{80} : (\frac{-4}{5} + 2,5 + \frac{3}{4})$
Ta thực hiện các phép tính từng bước:
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} : \left( \frac{-4}{5} + \frac{5}{2} + \frac{3}{4} \right)
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} : \left( \frac{-4}{5} + \frac{10}{4} + \frac{3}{4} \right)
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} : \left( \frac{-4}{5} + \frac{13}{4} \right)
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} : \left( \frac{-16}{20} + \frac{65}{20} \right)
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} : \left( \frac{49}{20} \right)
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{80} \cdot \frac{20}{49}
\]
\[
= 0,75 - \frac{43 \cdot 20}{80 \cdot 49}
\]
\[
= 0,75 - \frac{860}{3920}
\]
\[
= 0,75 - \frac{43}{196}
\]
\[
= \frac{3}{4} - \frac{43}{196}
\]
\[
= \frac{147}{196} - \frac{43}{196}
\]
\[
= \frac{104}{196}
\]
\[
= \frac{52}{98}
\]
\[
= \frac{26}{49}
\]
8. $1 \frac{13}{15} \cdot 0,75 - (\frac{8}{15} + 25\%)$
Ta thực hiện các phép tính từng bước:
\[
= \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{4} - \left( \frac{8}{15} + \frac{1}{4} \right)
\]
\[
= \frac{28 \cdot 3}{15 \cdot 4} - \left( \frac{8}{15} + \frac{15}{60} \right)
\]
\[
= \frac{84}{60} - \left( \frac{8}{15} + \frac{15}{60} \right)
\]
\[
= \frac{84}{60} - \left( \frac{32}{60} + \frac{15}{60} \right)
\]
\[
= \frac{84}{60} - \frac{47}{60}
\]
\[
= \frac{84 - 47}{60}
\]
\[
= \frac{37}{60}
\]
Đáp số:
1. $\frac{-1}{4}$
2. $\frac{19}{23}$
3. $\frac{1213}{1078}$
4. $\frac{1}{940}$
5. $\frac{-3}{16}$
6. $\frac{269}{40}$
7. $\frac{26}{49}$
8. $\frac{37}{60}$
BÀI 4:
1. $\frac{2}{5} + (\frac{3}{11} + \frac{-2}{5})$
Ta có:
\[
\frac{2}{5} + (\frac{3}{11} + \frac{-2}{5}) = \frac{2}{5} + \frac{3}{11} + \frac{-2}{5}
\]
Các phân số có cùng mẫu số 5 sẽ triệt tiêu:
\[
\frac{2}{5} + \frac{-2}{5} = 0
\]
Vậy:
\[
0 + \frac{3}{11} = \frac{3}{11}
\]
2. $\frac{-5}{7} \cdot \frac{4}{13} + \frac{-5}{7} \cdot \frac{9}{13} + \frac{-2}{7}$
Ta có:
\[
\frac{-5}{7} \cdot \frac{4}{13} + \frac{-5}{7} \cdot \frac{9}{13} + \frac{-2}{7} = \frac{-5}{7} \left( \frac{4}{13} + \frac{9}{13} \right) + \frac{-2}{7}
\]
Cộng các phân số trong ngoặc:
\[
\frac{4}{13} + \frac{9}{13} = \frac{13}{13} = 1
\]
Vậy:
\[
\frac{-5}{7} \cdot 1 + \frac{-2}{7} = \frac{-5}{7} + \frac{-2}{7} = \frac{-7}{7} = -1
\]
3. $(\frac{-3}{4} + \frac{5}{6}) : (\frac{2}{9} - \frac{7}{12})$
Ta có:
\[
\frac{-3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{-9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{2}{9} - \frac{7}{12} = \frac{8}{36} - \frac{21}{36} = \frac{-13}{36}
\]
Vậy:
\[
\frac{\frac{1}{12}}{\frac{-13}{36}} = \frac{1}{12} \cdot \frac{36}{-13} = \frac{36}{12 \cdot -13} = \frac{3}{-13} = \frac{-3}{13}
\]
4. $\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{7} - \frac{8}{3}$
Ta có:
\[
\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{7} - \frac{8}{3} = \frac{5}{9} \left( \frac{2}{7} + \frac{5}{7} \right) - \frac{8}{3}
\]
Cộng các phân số trong ngoặc:
\[
\frac{2}{7} + \frac{5}{7} = \frac{7}{7} = 1
\]
Vậy:
\[
\frac{5}{9} \cdot 1 - \frac{8}{3} = \frac{5}{9} - \frac{8}{3} = \frac{5}{9} - \frac{24}{9} = \frac{-19}{9}
\]
5. $\frac{-7}{813} + 496 \cdot (\frac{-7}{813}) + (\frac{-7}{813}) \cdot 316$
Ta có:
\[
\frac{-7}{813} + 496 \cdot (\frac{-7}{813}) + (\frac{-7}{813}) \cdot 316 = \frac{-7}{813} (1 + 496 + 316)
\]
Cộng các số trong ngoặc:
\[
1 + 496 + 316 = 813
\]
Vậy:
\[
\frac{-7}{813} \cdot 813 = -7
\]
6. $\frac{-9}{10} \cdot \frac{5}{14} + \frac{1}{10} \cdot (\frac{-9}{2}) + \frac{1}{7} \cdot (\frac{-9}{10})$
Ta có:
\[
\frac{-9}{10} \cdot \frac{5}{14} + \frac{1}{10} \cdot (\frac{-9}{2}) + \frac{1}{7} \cdot (\frac{-9}{10}) = \frac{-9}{10} \left( \frac{5}{14} + \frac{1}{2} + \frac{1}{7} \right)
\]
Chuyển các phân số về cùng mẫu số 14:
\[
\frac{5}{14} + \frac{7}{14} + \frac{2}{14} = \frac{14}{14} = 1
\]
Vậy:
\[
\frac{-9}{10} \cdot 1 = \frac{-9}{10}
\]
7. $(\frac{1999}{2011} - \frac{2011}{1999}) - (\frac{-12}{1999} - \frac{12}{2011})$
Ta có:
\[
\frac{1999}{2011} - \frac{2011}{1999} = \frac{1999^2 - 2011^2}{2011 \cdot 1999}
\]
\[
\frac{-12}{1999} - \frac{12}{2011} = \frac{-12 \cdot 2011 - 12 \cdot 1999}{1999 \cdot 2011} = \frac{-12 \cdot (2011 + 1999)}{1999 \cdot 2011} = \frac{-12 \cdot 4010}{1999 \cdot 2011}
\]
Kết hợp hai biểu thức:
\[
\frac{1999^2 - 2011^2}{2011 \cdot 1999} - \frac{-12 \cdot 4010}{1999 \cdot 2011} = \frac{(1999 + 2011)(1999 - 2011) + 12 \cdot 4010}{1999 \cdot 2011}
\]
\[
= \frac{4010 \cdot (-12) + 12 \cdot 4010}{1999 \cdot 2011} = 0
\]
8. $1,75 \cdot (\frac{-16}{21}) = (4 \frac{1}{3} + 2,25) : \frac{158}{60}$
Ta có:
\[
1,75 = \frac{7}{4}, \quad 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}, \quad 2,25 = \frac{9}{4}
\]
\[
\frac{7}{4} \cdot \frac{-16}{21} = \frac{7 \cdot -16}{4 \cdot 21} = \frac{-112}{84} = \frac{-4}{3}
\]
\[
\frac{13}{3} + \frac{9}{4} = \frac{52}{12} + \frac{27}{12} = \frac{79}{12}
\]
\[
\frac{79}{12} : \frac{158}{60} = \frac{79}{12} \cdot \frac{60}{158} = \frac{79 \cdot 60}{12 \cdot 158} = \frac{79 \cdot 5}{158} = \frac{5}{2}
\]
Đáp số:
1. $\frac{3}{11}$
2. $-1$
3. $\frac{-3}{13}$
4. $\frac{-19}{9}$
5. $-7$
6. $\frac{-9}{10}$
7. $0$
8. $\frac{5}{2}$
BÀI 5:
Câu hỏi:
Tính hợp lý các tổng, hiệu, tích sau:
1) $\frac{1}{12} + \frac{1}{23} + \frac{1}{34} + ... + \frac{1}{49 \times 50}$
2) $\frac{1}{13} + \frac{1}{34} + \frac{1}{87} + ... + \frac{1}{2021 \times 2023}$
3) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{2020}{2021} + \frac{20210}{20210} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot ... \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot ...$
4) Cho $A = \frac{2}{1148} + \frac{2}{16 \times 19} + \frac{2}{19 \times 29} + ... + \frac{2}{8149}$ và $B = (-\frac{5}{2}) \cdot \frac{11}{2} \cdot (\frac{1}{2} + 1)$ Tính tích $A \cdot B$?
Câu trả lời:
1) Ta nhận thấy rằng các phân số trong tổng này có dạng $\frac{1}{n(n+1)}$. Ta có thể viết lại chúng dưới dạng:
$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
Do đó:
$\frac{1}{12} + \frac{1}{23} + \frac{1}{34} + ... + \frac{1}{49 \times 50} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + ... + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)$
Các phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$= 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$
2) Ta nhận thấy rằng các phân số trong tổng này có dạng $\frac{1}{n(n+2)}$. Ta có thể viết lại chúng dưới dạng:
$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$
Do đó:
$\frac{1}{13} + \frac{1}{34} + \frac{1}{87} + ... + \frac{1}{2021 \times 2023} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + ... + \left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023} \right) \right)$
Các phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2023} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2022}{2023} = \frac{1011}{2023}$
3) Ta nhận thấy rằng các phân số trong tổng này có dạng $\frac{n}{n+1}$. Ta có thể viết lại chúng dưới dạng:
$\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$
Do đó:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{2020}{2021} + \frac{20210}{20210} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot ... \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot ...$
$= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + ... + \left( 1 - \frac{1}{2021} \right) + 1 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot ... \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot ...$
$= 2020 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2021} \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot ... \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot ...$
4) Ta nhận thấy rằng các phân số trong tổng này có dạng $\frac{2}{n(n+3)}$. Ta có thể viết lại chúng dưới dạng:
$\frac{2}{n(n+3)} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right)$
Do đó:
$A = \frac{2}{1148} + \frac{2}{16 \times 19} + \frac{2}{19 \times 29} + ... + \frac{2}{8149} = \frac{2}{3} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + ... + \left( \frac{1}{8146} - \frac{1}{8149} \right) \right)$
Các phân số giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$= \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{1}{8149} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{8148}{8149} = \frac{5432}{8149}$
$B = (-\frac{5}{2}) \cdot \frac{11}{2} \cdot (\frac{1}{2} + 1) = (-\frac{5}{2}) \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{165}{8}$
Tích $A \cdot B = \frac{5432}{8149} \cdot (-\frac{165}{8}) = -\frac{5432 \cdot 165}{8149 \cdot 8} = -\frac{895560}{65192} = -\frac{223890}{16298} = -\frac{111945}{8149}$
Đáp số:
1) $\frac{49}{50}$
2) $\frac{1011}{2023}$
3) $2020 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2021} \right) + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot ... \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot \frac{1}{2021} \cdot ...$
4) $-\frac{111945}{8149}$
BÀI 6:
Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi cần biết cụ thể bài toán là gì. Bạn vui lòng cung cấp thêm thông tin về bài toán mà bạn muốn giải quyết.