BÀI 6:
1) $~x+\frac12=\frac34$
$~x=\frac34-\frac12$
$~x=\frac34-\frac24$
$~x=\frac14$
2) $~\frac45x=\frac47$
$~x=\frac47:\frac45$
$~x=\frac47\times\frac54$
$~x=\frac57$
3) $~\frac3{x+5}=15\%$
$~\frac3{x+5}=\frac{15}{100}$
$~\frac3{x+5}=\frac{3}{20}$
$~x+5=20$
$~x=20-5$
$~x=15$
4) $~\frac12-(\frac23x-\frac13)=\frac23$
$~\frac12-\frac23x+\frac13=\frac23$
$~\frac12+\frac13-\frac23x=\frac23$
$~\frac36+\frac26-\frac23x=\frac46$
$~\frac56-\frac23x=\frac46$
$~-\frac23x=\frac46-\frac56$
$~-\frac23x=-\frac16$
$~x=\frac16:\frac23$
$~x=\frac16\times\frac32$
$~x=\frac14$
5) $~(x-5)-\frac13=\frac25$
$~x-5=\frac25+\frac13$
$~x-5=\frac6{15}+\frac5{15}$
$~x-5=\frac{11}{15}$
$~x=\frac{11}{15}+5$
$~x=\frac{11}{15}+\frac{75}{15}$
$~x=\frac{86}{15}$
6) $~(4,5-2x):\frac34=1\frac13$
$~(4,5-2x):\frac34=\frac43$
$~4,5-2x=\frac43\times\frac34$
$~4,5-2x=1$
$~-2x=1-4,5$
$~-2x=-3,5$
$~x=\frac{3,5}{2}$
$~x=1,75$
7) $~x+\frac25=-\frac{11}{15}$
$~x=-\frac{11}{15}-\frac25$
$~x=-\frac{11}{15}-\frac6{15}$
$~x=-\frac{17}{15}$
8) $~2x+\frac14=\frac32$
$~2x=\frac32-\frac14$
$~2x=\frac64-\frac14$
$~2x=\frac54$
$~x=\frac54:2$
$~x=\frac54\times\frac12$
$~x=\frac58$
9) $~(x-\frac7{18})\times\frac{18}{29}=-\frac{12}{29}$
$~x-\frac7{18}=-\frac{12}{29}\times\frac{29}{18}$
$~x-\frac7{18}=-\frac{12}{18}$
$~x=-\frac{12}{18}+\frac7{18}$
$~x=-\frac{5}{18}$
10) $~\frac x3-\frac{10}{21}=\frac{-1}7$
$~\frac x3=\frac{-1}7+\frac{10}{21}$
$~\frac x3=\frac{-3}{21}+\frac{10}{21}$
$~\frac x3=\frac{7}{21}$
$~\frac x3=\frac13$
$~x=1$
11) $~15+1\frac14x=\frac23$
$~1\frac14x=\frac23-15$
$~1\frac14x=\frac23-\frac{45}{3}$
$~1\frac14x=-\frac{43}{3}$
$~\frac54x=-\frac{43}{3}$
$~x=-\frac{43}{3}\times\frac45$
$~x=-\frac{172}{15}$
12) $~3\frac13x+16\frac34=-13,25$
$~3\frac13x=-13,25-16\frac34$
$~3\frac13x=-13,25-16,75$
$~3\frac13x=-30$
$~\frac{10}{3}x=-30$
$~x=-30\times\frac3{10}$
$~x=-9$
13) $~x+\frac5{12}=-1\frac27$
$~x=-1\frac27-\frac5{12}$
$~x=-\frac97-\frac5{12}$
$~x=-\frac{108}{84}-\frac{35}{84}$
$~x=-\frac{143}{84}$
14) $~x-25\%x=\frac12$
$~x-\frac14x=\frac12$
$~\frac34x=\frac12$
$~x=\frac12:\frac34$
$~x=\frac12\times\frac43$
$~x=\frac23$
15) $~\frac45+\frac57:x=\frac16$
$~\frac57:x=\frac16-\frac45$
$~\frac57:x=\frac5{30}-\frac{24}{30}$
$~\frac57:x=-\frac{19}{30}$
$~x=-\frac{30}{19}\times\frac75$
$~x=-\frac{42}{19}$
Bài 1:
Để tìm \( n \in \mathbb{N} \) để các phân số tối giản, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một.
a) \( A = \frac{n+7}{n-2} \)
Phân số này tối giản nếu \( n + 7 \) và \( n - 2 \) không có ước chung nào khác 1.
Ta thấy rằng:
\[ n + 7 = (n - 2) + 9 \]
Do đó, \( n + 7 \) và \( n - 2 \) sẽ tối giản nếu \( n - 2 \) và 9 không có ước chung nào khác 1. Điều này xảy ra khi \( n - 2 \) không chia hết cho 3.
Vậy \( n \) phải thoả mãn:
\[ n - 2 \neq 3k \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{N} \]
b) \( B = \frac{n+13}{n-2} \)
Phân số này tối giản nếu \( n + 13 \) và \( n - 2 \) không có ước chung nào khác 1.
Ta thấy rằng:
\[ n + 13 = (n - 2) + 15 \]
Do đó, \( n + 13 \) và \( n - 2 \) sẽ tối giản nếu \( n - 2 \) và 15 không có ước chung nào khác 1. Điều này xảy ra khi \( n - 2 \) không chia hết cho 3 hoặc 5.
Vậy \( n \) phải thoả mãn:
\[ n - 2 \neq 3k \quad \text{và} \quad n - 2 \neq 5l \quad \text{với} \quad k, l \in \mathbb{N} \]
c) \( C = \frac{2n+3}{4n+1} \)
Phân số này tối giản nếu \( 2n + 3 \) và \( 4n + 1 \) không có ước chung nào khác 1.
Ta thấy rằng:
\[ 4n + 1 = 2(2n + 3) - 5 \]
Do đó, \( 2n + 3 \) và \( 4n + 1 \) sẽ tối giản nếu \( 2n + 3 \) và 5 không có ước chung nào khác 1. Điều này xảy ra khi \( 2n + 3 \) không chia hết cho 5.
Vậy \( n \) phải thoả mãn:
\[ 2n + 3 \neq 5k \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{N} \]
d) \( D = \frac{3n+2}{7n+1} \)
Phân số này tối giản nếu \( 3n + 2 \) và \( 7n + 1 \) không có ước chung nào khác 1.
Ta thấy rằng:
\[ 7n + 1 = 2(3n + 2) + (n - 3) \]
Do đó, \( 3n + 2 \) và \( 7n + 1 \) sẽ tối giản nếu \( 3n + 2 \) và \( n - 3 \) không có ước chung nào khác 1. Điều này xảy ra khi \( n - 3 \) không chia hết cho 3.
Vậy \( n \) phải thoả mãn:
\[ n - 3 \neq 3k \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{N} \]
Kết luận
- \( n \) để \( A = \frac{n+7}{n-2} \) tối giản: \( n - 2 \neq 3k \)
- \( n \) để \( B = \frac{n+13}{n-2} \) tối giản: \( n - 2 \neq 3k \) và \( n - 2 \neq 5l \)
- \( n \) để \( C = \frac{2n+3}{4n+1} \) tối giản: \( 2n + 3 \neq 5k \)
- \( n \) để \( D = \frac{3n+2}{7n+1} \) tối giản: \( n - 3 \neq 3k \)
Bài 2:
Để tìm \( n \in \mathbb{N} \) để các phân số tối giản, chúng ta sẽ kiểm tra từng phân số một.
a) \( A = \frac{2n + 7}{5n + 2} \)
Phân số này tối giản nếu tử số và mẫu số không có ước chung nào khác 1. Ta xét ước chung của \( 2n + 7 \) và \( 5n + 2 \).
Giả sử \( d \) là ước chung của \( 2n + 7 \) và \( 5n + 2 \). Khi đó \( d \) cũng là ước chung của mọi bội số của chúng. Ta có:
\[ d \mid (5n + 2) - 2(2n + 7) \]
\[ d \mid (5n + 2) - (4n + 14) \]
\[ d \mid n - 12 \]
Do đó, \( d \) phải là ước chung của \( n - 12 \) và \( 2n + 7 \). Ta tiếp tục xét:
\[ d \mid 2(n - 12) \]
\[ d \mid 2n - 24 \]
Và:
\[ d \mid (2n + 7) - (2n - 24) \]
\[ d \mid 31 \]
Vậy \( d \) chỉ có thể là 1 hoặc 31. Để phân số tối giản, \( d \) phải là 1. Do đó, \( n - 12 \) không chia hết cho 31. Điều này đúng khi \( n \neq 12 + 31k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
b) \( C = \frac{8n + 193}{4 + 193} \)
Ta thấy rằng \( 4 + 193 = 197 \), nên phân số trở thành:
\[ C = \frac{8n + 193}{197} \]
Phân số này tối giản nếu \( 8n + 193 \) không chia hết cho 197. Ta xét:
\[ 8n + 193 \equiv 0 \pmod{197} \]
\[ 8n \equiv -193 \pmod{197} \]
\[ 8n \equiv 4 \pmod{197} \]
\[ n \equiv 4 \times 8^{-1} \pmod{197} \]
Ta cần tìm \( 8^{-1} \pmod{197} \). Sử dụng phương pháp mở rộng Euclid, ta có:
\[ 8 \times 24 + 197 \times (-1) = 1 \]
\[ 8^{-1} \equiv 24 \pmod{197} \]
Do đó:
\[ n \equiv 4 \times 24 \pmod{197} \]
\[ n \equiv 96 \pmod{197} \]
Vậy \( n \neq 96 + 197k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
c) \( A = \frac{18x + 3}{23x + 3} \)
Phân số này tối giản nếu \( 18x + 3 \) và \( 23x + 3 \) không có ước chung nào khác 1. Giả sử \( d \) là ước chung của \( 18x + 3 \) và \( 23x + 3 \). Khi đó:
\[ d \mid (23x + 3) - (18x + 3) \]
\[ d \mid 5x \]
Do đó, \( d \) phải là ước chung của \( 5x \) và \( 18x + 3 \). Ta tiếp tục xét:
\[ d \mid 18x + 3 - 3(5x) \]
\[ d \mid 18x + 3 - 15x \]
\[ d \mid 3x + 3 \]
\[ d \mid 3(x + 1) \]
Vậy \( d \) chỉ có thể là 1 hoặc 3. Để phân số tối giản, \( d \) phải là 1. Do đó, \( 3(x + 1) \) không chia hết cho 3, tức là \( x + 1 \) không chia hết cho 3. Điều này đúng khi \( x \neq 3k - 1 \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
d) \( D = \frac{21n + 3}{61n + 4} \)
Phân số này tối giản nếu \( 21n + 3 \) và \( 61n + 4 \) không có ước chung nào khác 1. Giả sử \( d \) là ước chung của \( 21n + 3 \) và \( 61n + 4 \). Khi đó:
\[ d \mid (61n + 4) - 2(21n + 3) \]
\[ d \mid 61n + 4 - 42n - 6 \]
\[ d \mid 19n - 2 \]
Do đó, \( d \) phải là ước chung của \( 19n - 2 \) và \( 21n + 3 \). Ta tiếp tục xét:
\[ d \mid 21(19n - 2) \]
\[ d \mid 399n - 42 \]
Và:
\[ d \mid (21n + 3) - (399n - 42) \]
\[ d \mid 21n + 3 - 399n + 42 \]
\[ d \mid -378n + 45 \]
\[ d \mid 378n - 45 \]
Vậy \( d \) chỉ có thể là 1 hoặc 3. Để phân số tối giản, \( d \) phải là 1. Do đó, \( 378n - 45 \) không chia hết cho 3, tức là \( n \neq 3k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
Kết luận
- \( n \neq 12 + 31k \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
- \( n \neq 96 + 197k \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
- \( x \neq 3k - 1 \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
- \( n \neq 3k \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
Bài 3:
Để tìm \( n \in \mathbb{N} \) để các phân số tối giản, chúng ta cần kiểm tra điều kiện tối giản của phân số. Một phân số được gọi là tối giản nếu tử số và mẫu số của nó không có ước chung nào khác 1.
Giả sử chúng ta có phân số \(\frac{a}{b}\). Để phân số này tối giản, \(a\) và \(b\) phải là hai số nguyên dương không có ước chung nào khác 1.
Ví dụ, nếu chúng ta có phân số \(\frac{n+1}{n+2}\), chúng ta cần kiểm tra xem \(n+1\) và \(n+2\) có ước chung nào khác 1 hay không.
Ta thấy rằng \(n+1\) và \(n+2\) là hai số liên tiếp, nghĩa là chúng chỉ có ước chung là 1. Do đó, phân số \(\frac{n+1}{n+2}\) luôn tối giản với mọi \(n \in \mathbb{N}\).
Vậy, \(n \in \mathbb{N}\) để các phân số tối giản là tất cả các số tự nhiên.
Đáp số: \(n \in \mathbb{N}\)