Câu 1:
Phương trình mặt phẳng $(P):~x-2y+2z-1=0$ có dạng tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$. Từ đó, ta nhận thấy rằng véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có dạng $(a, b, c)$.
Trong phương trình $(P):~x-2y+2z-1=0$, ta có:
- $a = 1$
- $b = -2$
- $c = 2$
Do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1, -2, 2)$.
Bây giờ, ta kiểm tra từng lựa chọn để xác định véc tơ pháp tuyến đúng đắn:
A. $\overrightarrow{n_1} = (1, -2, 1)$
B. $\overrightarrow{n_2} = (-1, 2, -2)$
C. $\overrightarrow{n_3} = (1, -2, -2)$
D. $\overrightarrow{n_4} = (-1, -2, 1)$
Ta thấy rằng véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, -2, 2)$. Trong các lựa chọn trên, không có lựa chọn nào đúng với véc tơ pháp tuyến $(1, -2, 2)$. Tuy nhiên, nếu ta xét đến các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng véc tơ pháp tuyến $(1, -2, 2)$ không nằm trong các lựa chọn A, B, C, D.
Do đó, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho.
Đáp án: Không có lựa chọn đúng.
Câu 2:
Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (ABC):
- Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 0 + 2; 3 - 1) = (-2; 2; 2)$.
- Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 1; 2 + 2; 0 - 1) = (-2; 4; -1)$.
2. Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến:
- $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
- Ta có:
\[
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-2 & 2 & 2 \\
-2 & 4 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(2 \cdot (-1) - 2 \cdot 4) - \mathbf{j}((-2) \cdot (-1) - 2 \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-2) \cdot 4 - 2 \cdot (-2))
\]
\[
= \mathbf{i}(-2 - 8) - \mathbf{j}(2 + 4) + \mathbf{k}(-8 + 4)
= \mathbf{i}(-10) - \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(-4)
= (-10; -6; -4)
\]
3. Rút gọn vectơ pháp tuyến:
- Ta thấy rằng vectơ $(-10; -6; -4)$ có thể chia hết cho 2, do đó ta có vectơ pháp tuyến là $(-5; -3; -2)$.
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến $(-5; -2; -3)$ gần giống với đáp án B.
Do đó, đáp án đúng là:
B. $\overrightarrow{n} = (-5; -2; -3)$.
Câu 3:
Để kiểm tra xem mỗi điểm có thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng $(\alpha): 2x - y + 3z = 0$ và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không.
A. Với điểm $A(-1; 3; 2)$:
\[ 2(-1) - 3 + 3(2) = -2 - 3 + 6 = 1 \neq 0 \]
Do đó, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
B. Với điểm $B(0; 0; 0)$:
\[ 2(0) - 0 + 3(0) = 0 \]
Do đó, điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
C. Với điểm $C(1; -1; -1)$:
\[ 2(1) - (-1) + 3(-1) = 2 + 1 - 3 = 0 \]
Do đó, điểm $C$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
D. Với điểm $D(2; -5; -3)$:
\[ 2(2) - (-5) + 3(-3) = 4 + 5 - 9 = 0 \]
Do đó, điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.
Như vậy, điểm không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ là điểm $A(-1; 3; 2)$.
Đáp án đúng là: A. $A(-1; 3; 2)$.
Câu 4:
Để xác định mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm nào trong các điểm M, N, P, Q, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực.
3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực.
4. Kiểm tra xem các điểm M, N, P, Q có nằm trên mặt phẳng trung trực đó hay không.
Bước 1: Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
\[ I = \left( \frac{-4 + (-2)}{2}, \frac{5 + (-3)}{2}, \frac{-2 + 0}{2} \right) = \left( -3, 1, -1 \right) \]
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực.
Vectơ AB:
\[ \overrightarrow{AB} = (-2 - (-4), -3 - 5, 0 - (-2)) = (2, -8, 2) \]
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là vectơ AB:
\[ \vec{n} = (2, -8, 2) \]
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực.
Phương trình mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\):
\[ 2(x + 3) - 8(y - 1) + 2(z + 1) = 0 \]
\[ 2x + 6 - 8y + 8 + 2z + 2 = 0 \]
\[ 2x - 8y + 2z + 16 = 0 \]
\[ x - 4y + z + 8 = 0 \]
Bước 4: Kiểm tra xem các điểm M, N, P, Q có nằm trên mặt phẳng trung trực đó hay không.
- Kiểm tra điểm M(-1, 2, 0):
\[ -1 - 4(2) + 0 + 8 = -1 - 8 + 8 = -1 \neq 0 \]
Điểm M không thuộc mặt phẳng.
- Kiểm tra điểm N(-3, 1, -1):
\[ -3 - 4(1) - 1 + 8 = -3 - 4 - 1 + 8 = 0 \]
Điểm N thuộc mặt phẳng.
- Kiểm tra điểm P(2, -2, 2):
\[ 2 - 4(-2) + 2 + 8 = 2 + 8 + 2 + 8 = 20 \neq 0 \]
Điểm P không thuộc mặt phẳng.
- Kiểm tra điểm Q(-1, 3, -2):
\[ -1 - 4(3) - 2 + 8 = -1 - 12 - 2 + 8 = -7 \neq 0 \]
Điểm Q không thuộc mặt phẳng.
Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm N(-3, 1, -1).
Đáp án đúng là: B. N(-3, 1, -1).
Câu 5:
Phương trình mặt phẳng qua điểm $A(-1;1;-2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; -2; 3)$ có dạng:
\[ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \]
Trong đó, $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -2, 3)$ và $(x_A, y_A, z_A)$ là tọa độ của điểm $A$.
Thay vào ta có:
\[ 1(x + 1) - 2(y - 1) + 3(z + 2) = 0 \]
Mở ngoặc và thu gọn:
\[ x + 1 - 2y + 2 + 3z + 6 = 0 \]
\[ x - 2y + 3z + 9 = 0 \]
Vậy phương trình mặt phẳng là:
\[ x - 2y + 3z + 9 = 0 \]
Đáp án đúng là: A. $x - 2y + 3z + 9 = 0$.
Câu 6:
Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua điểm \( M(2; -1; 0) \) và song song với mặt phẳng (P) có dạng:
\[ x - 2y + z + d = 0 \]
Để xác định tham số \( d \), ta thay tọa độ của điểm \( M \) vào phương trình trên:
\[ 2 - 2(-1) + 0 + d = 0 \]
\[ 2 + 2 + d = 0 \]
\[ 4 + d = 0 \]
\[ d = -4 \]
Vậy phương trình của mặt phẳng (Q) là:
\[ x - 2y + z - 4 = 0 \]
Do đó, đáp án đúng là:
B. \( x - 2y + z - 4 = 0 \).
Câu 7:
Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \( A(1;0;0) \), \( B(0;-2;0) \), và \( C(0;0;3) \), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
- Vectơ \( \overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, -2-0, 0-0) = (-1, -2, 0) \)
- Vectơ \( \overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3) \)
Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng (ABC) là tích vector của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \):
\[
\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-1 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 3
\end{vmatrix}
= \vec{i}((-2) \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \vec{j}((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \vec{k}((-1) \cdot 0 - (-2) \cdot (-1))
= \vec{i}(-6) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(2)
= (-6, 3, 2)
\]
2. Viết phương trình mặt phẳng:
Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz = d \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. Ta thay \( (a, b, c) = (-6, 3, 2) \) vào phương trình và sử dụng điểm \( A(1, 0, 0) \) để tìm \( d \):
\[
-6 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = d \implies d = -6
\]
Vậy phương trình mặt phẳng là:
\[
-6x + 3y + 2z = -6
\]
3. Chuẩn hóa phương trình:
Chia cả hai vế cho -6 để đơn giản hóa phương trình:
\[
x - \frac{y}{2} - \frac{z}{3} = 1
\]
Viết lại dưới dạng phân số:
\[
\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1
\]
Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\[
\boxed{\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1}
\]
Vậy đáp án đúng là C. $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$.
Câu 8:
Để tìm phương trình mặt phẳng (BC), ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Mặt phẳng (BC) đi qua điểm B(0, 0, 7) và C(0, 3, 0).
Bước 1: Xác định vectơ BC:
\[ \overrightarrow{BC} = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 7) = (0, 3, -7) \]
Bước 2: Xác định vectơ AB:
\[ \overrightarrow{AB} = (0 - (-2), 0 - 0, 7 - 0) = (2, 0, 7) \]
Bước 3: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BC) bằng cách lấy tích vector của \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB}\):
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 3 & -7 \\
2 & 0 & 7
\end{vmatrix} \]
\[ = \mathbf{i}(3 \cdot 7 - (-7) \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 7 - (-7) \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 3 \cdot 2) \]
\[ = \mathbf{i}(21) - \mathbf{j}(14) + \mathbf{k}(-6) \]
\[ = (21, -14, -6) \]
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng (BC) với vectơ pháp tuyến \((21, -14, -6)\) và đi qua điểm B(0, 0, 7):
\[ 21(x - 0) - 14(y - 0) - 6(z - 7) = 0 \]
\[ 21x - 14y - 6z + 42 = 0 \]
Vậy phương trình mặt phẳng (BC) là:
\[ 21x - 14y - 6z + 42 = 0 \]
Đáp án đúng là: D. \(21x - 14y - 6z + 42 = 0\).
Câu 9:
Mặt phẳng (Oxy) có véctơ pháp tuyến là $\vec{n} = (0, 0, 1)$.
Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) sẽ có cùng véctơ pháp tuyến hoặc một véctơ pháp tuyến cùng phương với nó. Do đó, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với (Oxy) cũng là $\vec{n} = (0, 0, 1)$.
Lập luận từng bước:
1. Xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\vec{n} = (0, 0, 1)$.
2. Mặt phẳng song song với (Oxy) sẽ có véctơ pháp tuyến cùng phương với $\vec{n}$.
3. Kết luận: Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với (Oxy) là $\vec{n} = (0, 0, 1)$.
Đáp số: $\vec{n} = (0, 0, 1)$.