26/01/2025
Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
26/01/2025
27/01/2025
\[
S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.
\]
\[
S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.
\]
Nhân cả hai vế với \( 5 \) để đơn giản, ta xét:
\[
S' = PA + 4PB + 3PC.
\]
Khi \( S' \) đạt giá trị nhỏ nhất, thì \( S \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất.
---
- Ở đây, các trọng số là:
\[
k_A = 1, \quad k_B = 4, \quad k_C = 3.
\]
- Khi đó, \( P \) chính là **trọng tâm trọng số** được xác định bởi:
\[
P = \frac{k_A \cdot A + k_B \cdot B + k_C \cdot C}{k_A + k_B + k_C}.
\]
- Tổng trọng số:
\[
k_A + k_B + k_C = 1 + 4 + 3 = 8.
\]
Vậy tọa độ của \( P \) được tính theo công thức:
\[
P = \frac{1}{8}(A + 4B + 3C).
\]
\[
S = \frac{1}{5} \cdot S'_{\min}.
\]
**Kết quả:** \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( P \) là trọng tâm trọng số của tam giác \( ABC \) với các trọng số \( 1, 4, 3 \).
26/01/2025
Vẽ hình
26/01/2025
Để giải bài toán, chúng ta cần tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC \) với \( P \) được xác định là điểm trọng số của tam giác \( ABC \). Sau đây là các bước chi tiết:
---
### Bước 1: Đặt tọa độ của các đỉnh tam giác \( A, B, C \)
Giả sử:
- \( A(0, 0) \),
- \( B(5, 0) \) (vì \( AB = 5 \)),
- \( C(0, h) \), trong đó \( h \) cần được xác định từ \( BC = 10 \).
Khoảng cách \( BC = 10 \) cho ta:
\[\sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - h)^2} = 10 \implies \sqrt{25 + h^2} = 10.\]
Bình phương hai vế:
\[25 + h^2 = 100 \implies h^2 = 75 \implies h = 5\sqrt{3}.\]
Vậy \( C(0, 5\sqrt{3}) \).
---
### Bước 2: Xác định tọa độ điểm \( P \)
Điểm \( P \) được xác định bởi trọng số:
\[P = \frac{\frac{1}{5}A + \frac{4}{5}B + \frac{3}{5}C}{\frac{1}{5} + \frac{4}{5} + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}(0, 0) + \frac{4}{5}(5, 0) + \frac{3}{5}(0, 5\sqrt{3})}{1}.\]
Tính toán:
\[P_x = \frac{1}{5}(0) + \frac{4}{5}(5) + \frac{3}{5}(0) = \frac{20}{5} = 4,\]
\[P_y = \frac{1}{5}(0) + \frac{4}{5}(0) + \frac{3}{5}(5\sqrt{3}) = \frac{15\sqrt{3}}{5} = 3\sqrt{3}.\]
Vậy tọa độ của \( P \) là:
\[P(4, 3\sqrt{3}).\]
---
### Bước 3: Tính \( S \) tại \( P \)
Biểu thức \( S \) được tính như sau:
\[S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.\]
#### 1. Tính \( PA \)
\[PA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 27} = \sqrt{43}.\]
#### 2. Tính \( PB \)
\[PB = \sqrt{(4 - 5)^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 27} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.\]
#### 3. Tính \( PC \)
\[PC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3\sqrt{3} - 5\sqrt{3})^2} = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.\]
---
#### 4. Tính giá trị của \( S \)
\[S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.\]
Thay các giá trị vào:
\[S = \frac{1}{5}\sqrt{43} + \frac{4}{5}(2\sqrt{7}) + \frac{3}{5}(2\sqrt{7}).\]
\[S = \frac{\sqrt{43}}{5} + \frac{8\sqrt{7}}{5} + \frac{6\sqrt{7}}{5}.\]
\[S = \frac{\sqrt{43}}{5} + \frac{14\sqrt{7}}{5}.\]
\[S = \frac{\sqrt{43} + 14\sqrt{7}}{5}.\]
---
### Kết quả
Giá trị nhỏ nhất của \( S \) là:
\[S = \frac{\sqrt{43} + 14\sqrt{7}}{5}.\]
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
3 giờ trước
Top thành viên trả lời