Cho tam giác ABC có AB=5 cm, BC=10 cm. Với P là một điểm bất kì, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S=1/5PA + 4/5PB +3 /5PC là bao nhiêu?

thumb up 0
thumb down
Trả lời câu hỏi của Xuân An Vũ

Làm sao để có câu trả lời hay nhất?

  • Luôn có GIẢI THÍCH các bước giải
  • Không copy câu trả lời của Timi
  • Không sao chép trên mạng
  • Không spam câu trả lời để nhận điểm
  • Spam sẽ bị khóa tài khoản
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

26/01/2025

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC \), ta sẽ sử dụng phương pháp trọng tâm và tính chất của trọng tâm trong tam giác. Bước 1: Xác định trọng tâm của tam giác ABC. - Trọng tâm của tam giác là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Bước 2: Áp dụng tính chất trọng tâm. - Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, nghĩa là \( AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1 \). Bước 3: Xác định điểm P. - Để biểu thức \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, điểm \( P \) nên là trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( S \) khi \( P = G \). - Khi \( P = G \), ta có: \[ S = \frac{1}{5}GA + \frac{4}{5}GB + \frac{3}{5}GC \] Bước 5: Sử dụng tính chất trọng tâm để tính toán. - Trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, do đó: \[ GA = \frac{2}{3}AD, \quad GB = \frac{2}{3}BE, \quad GC = \frac{2}{3}CF \] - Trong đó \( AD, BE, CF \) là các đường trung tuyến của tam giác \( ABC \). Bước 6: Thay vào biểu thức \( S \): \[ S = \frac{1}{5} \left( \frac{2}{3}AD \right) + \frac{4}{5} \left( \frac{2}{3}BE \right) + \frac{3}{5} \left( \frac{2}{3}CF \right) \] \[ S = \frac{2}{15}AD + \frac{8}{15}BE + \frac{6}{15}CF \] \[ S = \frac{2}{15}(AD + 4BE + 3CF) \] Bước 7: Tính tổng các đường trung tuyến. - Tổng các đường trung tuyến của tam giác \( ABC \) là: \[ AD + BE + CF = \frac{3}{2}(AB + BC + CA) \] - Vì \( AB = 5 \) cm, \( BC = 10 \) cm, ta cần biết \( AC \) để tính chính xác. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng tính chất tổng quát của trọng tâm: \[ AD + BE + CF = \frac{3}{2}(5 + 10 + AC) \] Bước 8: Thay vào biểu thức \( S \): \[ S = \frac{2}{15} \left( \frac{3}{2}(5 + 10 + AC) \right) \] \[ S = \frac{1}{5}(15 + AC) \] Bước 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \). - Để \( S \) nhỏ nhất, ta cần \( AC \) nhỏ nhất. Tuy nhiên, do \( AC \) là cạnh của tam giác, nó phải thỏa mãn điều kiện \( |AB - BC| < AC < AB + BC \): \[ |5 - 10| < AC < 5 + 10 \] \[ 5 < AC < 15 \] Bước 10: Kết luận. - Giá trị nhỏ nhất của \( S \) xảy ra khi \( AC \) nhỏ nhất, tức là \( AC = 5 \) cm: \[ S = \frac{1}{5}(15 + 5) = \frac{1}{5} \times 20 = 4 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S \) là 4, đạt được khi \( P \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \).
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
3.0/5 (2 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận


\[
S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.
\]
  \[
  S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.
  \]
  Nhân cả hai vế với \( 5 \) để đơn giản, ta xét:
  \[
  S' = PA + 4PB + 3PC.
  \]
  Khi \( S' \) đạt giá trị nhỏ nhất, thì \( S \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất.

---

  - Ở đây, các trọng số là:
    \[
    k_A = 1, \quad k_B = 4, \quad k_C = 3.
    \]
  - Khi đó, \( P \) chính là **trọng tâm trọng số** được xác định bởi:
    \[
    P = \frac{k_A \cdot A + k_B \cdot B + k_C \cdot C}{k_A + k_B + k_C}.
    \]
  - Tổng trọng số:  
    \[
    k_A + k_B + k_C = 1 + 4 + 3 = 8.
    \]

  Vậy tọa độ của \( P \) được tính theo công thức:  
  \[
  P = \frac{1}{8}(A + 4B + 3C).
  \]
  \[
  S = \frac{1}{5} \cdot S'_{\min}.
  \]

**Kết quả:** \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( P \) là trọng tâm trọng số của tam giác \( ABC \) với các trọng số \( 1, 4, 3 \).

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Vẽ hình 

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Xuân An Vũ

Để giải bài toán, chúng ta cần tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC \) với \( P \) được xác định là điểm trọng số của tam giác \( ABC \). Sau đây là các bước chi tiết:


---


### Bước 1: Đặt tọa độ của các đỉnh tam giác \( A, B, C \)

Giả sử:

- \( A(0, 0) \),

- \( B(5, 0) \) (vì \( AB = 5 \)),

- \( C(0, h) \), trong đó \( h \) cần được xác định từ \( BC = 10 \).


Khoảng cách \( BC = 10 \) cho ta:

\[\sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - h)^2} = 10 \implies \sqrt{25 + h^2} = 10.\]

Bình phương hai vế:

\[25 + h^2 = 100 \implies h^2 = 75 \implies h = 5\sqrt{3}.\]

Vậy \( C(0, 5\sqrt{3}) \).


---


### Bước 2: Xác định tọa độ điểm \( P \)

Điểm \( P \) được xác định bởi trọng số:

\[P = \frac{\frac{1}{5}A + \frac{4}{5}B + \frac{3}{5}C}{\frac{1}{5} + \frac{4}{5} + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}(0, 0) + \frac{4}{5}(5, 0) + \frac{3}{5}(0, 5\sqrt{3})}{1}.\]


Tính toán:

\[P_x = \frac{1}{5}(0) + \frac{4}{5}(5) + \frac{3}{5}(0) = \frac{20}{5} = 4,\]

\[P_y = \frac{1}{5}(0) + \frac{4}{5}(0) + \frac{3}{5}(5\sqrt{3}) = \frac{15\sqrt{3}}{5} = 3\sqrt{3}.\]


Vậy tọa độ của \( P \) là:

\[P(4, 3\sqrt{3}).\]


---


### Bước 3: Tính \( S \) tại \( P \)

Biểu thức \( S \) được tính như sau:

\[S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.\]


#### 1. Tính \( PA \)

\[PA = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 27} = \sqrt{43}.\]


#### 2. Tính \( PB \)

\[PB = \sqrt{(4 - 5)^2 + (3\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 27} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.\]


#### 3. Tính \( PC \)

\[PC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3\sqrt{3} - 5\sqrt{3})^2} = \sqrt{4^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.\]


---


#### 4. Tính giá trị của \( S \)

\[S = \frac{1}{5}PA + \frac{4}{5}PB + \frac{3}{5}PC.\]

Thay các giá trị vào:

\[S = \frac{1}{5}\sqrt{43} + \frac{4}{5}(2\sqrt{7}) + \frac{3}{5}(2\sqrt{7}).\]

\[S = \frac{\sqrt{43}}{5} + \frac{8\sqrt{7}}{5} + \frac{6\sqrt{7}}{5}.\]

\[S = \frac{\sqrt{43}}{5} + \frac{14\sqrt{7}}{5}.\]

\[S = \frac{\sqrt{43} + 14\sqrt{7}}{5}.\]


---


### Kết quả

Giá trị nhỏ nhất của \( S \) là:

\[S = \frac{\sqrt{43} + 14\sqrt{7}}{5}.\]

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved