Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn
b,NE^2=NC.NB
c,NEH=NME
(H là giao điểm của AC và d)
d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

Question

Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn
b,NE^2=NC.NB
c,NEH=NME
(H là giao điểm của AC và d)
d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

Accepted Answer

b) $N E^{2} = N C . N B$

Xét ΔNEC và ΔNBE có:

$\hat{E N B}$ là góc chung

$\hat{N E C} = \hat{N B E}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến NE và dây cung EC )

→ΔNEC∼ΔNBE $\to Δ N E C \sim Δ N B E$

→NENC=NBNE $\to \frac{N E}{N C} = \frac{N B}{N E}$

→NE2=NB.NC $\to N E^{2} = N B . N C$

c)

Xét ΔABC nội tiếp đường tròn (O) $(O)$ , đường kính AB

$\to Δ A B C$ vuông tại C $C$

Xét $Δ N C H$ và $Δ N M B$ có:

$\hat{M N B}$ là góc chung

$\hat{N C H} = \hat{N M B} = 90^{\circ}$

$\to Δ N C H \sim Δ N M B$

$\to \frac{N C}{N M} = \frac{N H}{N B}$

$\to N B . N C = N H . N M$

Mà $N B . N C = N E^{2}$ ( chứng minh trên )

$\to N E^{2} = N H . N M$

$\to \frac{N E}{N M} = \frac{N H}{N E}$

Xét ΔNEH và ΔNME có:

$\hat{E N M}$ là góc chung

$\frac{N E}{N M} = \frac{N H}{N E}$ ( chứng minh trên )

$\to Δ N E H = Δ N M E$

$\to \hat{N E H} = \hat{N M E}$

d)

Gọi S là giao điểm của EF và ON

Ta có 4 điểm O,E,M,N cùng thuộc 1 $1$ đường tròn ( chứng minh ở câu a )

→OMEN là tứ giác nội tiếp

$\to \hat{N M E} = \hat{N O E}$ ( cùng chắn $\overset{⌢}{N E}$

Mà $\hat{N M E} = \hat{N E H}$ ( chứng minh ở câu c ) $\to \hat{N O E} = \hat{N E H}$

Xét ΔNOE và ΔNES có:

$\hat{E N O}$ là góc chung

$\hat{N O E} = \hat{N E H}$ ( chứng minh trên )

$\to Δ N O E \sim Δ N E S$

$\to \frac{N O}{N E} = \frac{N E}{N S}$ và $\hat{N E O} = \hat{N S E} = 90^{\circ}$

$\to N E^{2} = N S . N O$ và ON⊥EF tại S

ON vuông góc với dây cung EF

→ON là đường trung trực của EF

→NE=NF

Mà $N E^{2} = N S . N O$

Nên $N F^{2} = N S . N O$

$\to \frac{N F}{N O} = \frac{N O}{N S}$

Xét ΔNFS và ΔNOF có:

$\frac{N F}{N O} = \frac{N O}{N S}$ ( chứng minh trên )

$\hat{O N F}$ là góc chung

$\to Δ N F S \sim Δ N O F$

$\to \hat{N S F} = \hat{N F O} = 90^{\circ}$

→NF là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và...