giúp mình với Câu 12. (2,75 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của tam,giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ,từ B và C đến AK.,a) Chứng minh 4 điểm A, D, F, C cùng nằm trên một đường tròn.,b) Chứng minh: $BAD=CAK.$,c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh $MN\bot DF$ và M là tâm,đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Question

Accepted Answer

a)
Có: AD$\displaystyle \bot $BC $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ADC} =90^{0}$
Có: CF$\displaystyle \bot $AK $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{CFA} =90^{0}$
Xét tứ giác ACDF, có:
$\displaystyle \widehat{ADC} =\widehat{CFA} =90^{0}$
mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC
⟹ Tứ giác ACDF nội tiếp hay 4 điểm A,D,F, C cùng thuộc một đường tròn
b)
Tam giác CAK nội tiếp đường tròn đường kính AK ⟹ Tam giác CAK vuông tại C
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{CAK} +\widehat{CKA} =90^{0}$
mà $\displaystyle \widehat{CKA} =\widehat{CBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{CAK} +\widehat{CBA} =90^{0}$
mà $\displaystyle \widehat{CBA} +\widehat{BAD} =90^{0} \Longrightarrow \widehat{CAK} =\widehat{BAD}$
c)
Xét $\displaystyle riangle $DFC có: $\displaystyle \widehat{ADC} +\widehat{AFC} =90^{0}$ (vì AD$\displaystyle \bot $BC, CF$\displaystyle \bot $AK)
Suy ra: $\displaystyle riangle $DFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{DFA} =\widehat{DCA}$ (cùng chắn cung AD) hay $\displaystyle \widehat{DFA} =\widehat{BCA}$
mà $\displaystyle \widehat{BKA} =\widehat{BCA}$ (góc nội tiếp)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{DFA} =\widehat{BKA}$
mà hai góc $\displaystyle \widehat{DFA} ;\widehat{BKA}$ ở vị trí đồng vị ⟹ DF//BK
Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB
Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)
Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).
Lại có: MN ⊥ DF
⇒ EM ⊥ DF
AK là đường kính, BC là đây cung (1)
⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.