trả lời đúng sai nha giải thích với cho tôi dễ hiểu nha Câu 4: Xét hàm số $f(x)=e^x+\int^l_0xf(x)dx.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~f(x)=e^x+\int^1_0xf(x)dx\Leftrightarrow f(x)=e^x+\frac12\int^1_0f(x)dx$,$b)~f^\prime(x)=e^x$,$c)~f(x)=\int f^\prime(x)dx=\int e^xdx=e^x.$,d) Giá trị của f (ln(2024)) bằng 2026.,Câu 5: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng K . Xét,tính đúng sai của các mệnh đề sau:,$a)~f^\prime(x)=F(x),~\forall x\in K.$,$b)~\int^b_af(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a).$,$c)~\int k.f(x)dx=k\int f(x)dx~S$,$d)~\int^2_0(f(x)+3x^2)dx=10$ thì $\int^2_0f(x)dx=2.~\Omega$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một.

Mệnh đề a)
Ta có:
$$ f(x) = e^x + \int_0^1 x f(x) \, dx $$

Đặt $ I = \int_0^1 x f(x) \, dx $. Ta có:
$$ f(x) = e^x + I $$

Do đó:
$$ f(x) = e^x + \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) \, dx $$

Mệnh đề này đúng vì $ I = \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) \, dx $.

Mệnh đề b)
Ta tính đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f&#x27;(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x + \int_0^1 x f(x) \, dx \right) $$

Vì $ \int_0^1 x f(x) \, dx $ là hằng số, nên đạo hàm của nó bằng 0:
$$ f&#x27;(x) = e^x $$

Mệnh đề này đúng.

Mệnh đề c)
Ta có:
$$ f(x) = \int f&#x27;(x) \, dx = \int e^x \, dx = e^x + C $$

Trong đó $ C $ là hằng số. Để xác định $ C $, ta sử dụng điều kiện ban đầu hoặc giá trị cụ thể của $ f(x) $. Tuy nhiên, từ mệnh đề a) ta đã biết rằng:
$$ f(x) = e^x + I $$

Do đó, $ C = I $. Vậy:
$$ f(x) = e^x + I $$

Mệnh đề này sai vì $ f(x) \neq e^x $.

Mệnh đề d)
Ta cần tính giá trị của $ f(\ln(2024)) $:
$$ f(\ln(2024)) = e^{\ln(2024)} + I = 2024 + I $$

Để xác định $ I $, ta sử dụng phương trình:
$$ f(x) = e^x + I $$

Tích phân:
$$ I = \int_0^1 x f(x) \, dx = \int_0^1 x (e^x + I) \, dx $$
$$ I = \int_0^1 x e^x \, dx + I \int_0^1 x \, dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - (e - 1) = 1 $$
$$ \int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} $$

Do đó:
$$ I = 1 + \frac{I}{2} $$
$$ \frac{I}{2} = 1 $$
$$ I = 2 $$

Vậy:
$$ f(\ln(2024)) = 2024 + 2 = 2026 $$

Mệnh đề này đúng.

Kết luận
- Mệnh đề a) Đúng
- Mệnh đề b) Đúng
- Mệnh đề c) Sai
- Mệnh đề d) Đúng

Câu 5:
a) Sai vì $F&#x27;(x) = f(x)$, không phải $f&#x27;(x) = F(x)$.

b) Đúng vì theo công thức Newton-Leibniz, $\int^b_af(x)dx = F(x)|^b_a = F(b) - F(a)$.

c) Đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó, tức là $\int k.f(x)dx = k\int f(x)dx$.

d) Sai vì $\int^2_0(f(x) + 3x^2)dx = \int^2_0f(x)dx + \int^2_03x^2dx$. Ta có $\int^2_03x^2dx = 3\left[\frac{x^3}{3}\right]^2_0 = [x^3]^2_0 = 2^3 - 0^3 = 8$. Do đó, $\int^2_0(f(x) + 3x^2)dx = \int^2_0f(x)dx + 8$. Nếu $\int^2_0(f(x) + 3x^2)dx = 10$, thì $\int^2_0f(x)dx + 8 = 10$, suy ra $\int^2_0f(x)dx = 2$.