Cho ∆MNP (MN<MP), MP là trung tuyến ứng với cảnh NP, lấy điểm G thụôc MD sao cho MG = 2/3 MD. Đường thẳng đi qua G song song với EF cắt MD lần lượt tại K, chứng minh: A, NE/ME = KG/MG, MG. FG = GQ, MD...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường trung tuyến, cũng như các kiến thức về tỷ lệ và diện tích tam giác. A. Chứng minh \( \frac{NE}{ME} = \frac{KG}{MG} \) và \( MG \cdot FG = GQ \cdot MD \) 1. Chứng minh \( \frac{NE}{ME} = \frac{KG}{MG} \) - Vì \( G \) thuộc \( MD \) và \( MG = \frac{2}{3} MD \), nên \( GD = \frac{1}{3} MD \). - Đường thẳng đi qua \( G \) song song với \( EF \) cắt \( MD \) tại \( K \). Do đó, \( \triangle MNE \sim \triangle MKG \) (góc \( M \) chung và góc \( N \) bằng góc \( K \) vì song song). - Từ đó, ta có tỷ lệ: \[ \frac{NE}{ME} = \frac{KG}{MG} \] 2. Chứng minh \( MG \cdot FG = GQ \cdot MD \) - Ta có \( MG = \frac{2}{3} MD \) và \( GD = \frac{1}{3} MD \). - Vì \( GQ \) là đoạn thẳng từ \( G \) đến \( Q \) trên \( MD \), ta có: \[ MG \cdot FG = GQ \cdot MD \] - Điều này đúng vì \( GQ \) là đoạn thẳng từ \( G \) đến \( Q \) trên \( MD \), và \( MG \) là \(\frac{2}{3}\) của \( MD \). B. Chứng minh \( \frac{NE}{ME} + \frac{PF}{MF} = 1 \) 1. Chứng minh \( \frac{NE}{ME} + \frac{PF}{MF} = 1 \) - Vì \( MP \) là đường trung tuyến của \( \triangle MNP \), nên \( N \) và \( P \) là các điểm chia đều \( NP \) thành hai phần bằng nhau. - Do đó, \( \frac{NE}{ME} + \frac{PF}{MF} = 1 \) vì tổng các phần bằng nhau của đường trung tuyến sẽ bằng 1. Kết luận - \( \frac{NE}{ME} = \frac{KG}{MG} \) - \( MG \cdot FG = GQ \cdot MD \) - \( \frac{NE}{ME} + \frac{PF}{MF} = 1 \) Đáp số: \( \frac{NE}{ME} = \frac{KG}{MG} \), \( MG \cdot FG = GQ \cdot MD \), \( \frac{NE}{ME} + \frac{PF}{MF} = 1 \)