Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a \sqrt{2}$, mặt bên $(S A D)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng...

Để tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của chóp $S.ABCD$: - Đáy của chóp là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$. - Diện tích đáy $S_{ABCD} = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$. - Thể tích chóp $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times h = \frac{4a^3}{3}$. - Từ đó suy ra: $\frac{1}{3} \times 2a^2 \times h = \frac{4a^3}{3}$. - Giải phương trình này để tìm $h$: $2a^2 \times h = 4a^3$. - $h = \frac{4a^3}{2a^2} = 2a$. 2. Xác định tâm và bán kính của khối cầu ngoại tiếp: - Tâm của khối cầu ngoại tiếp nằm ở trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh chóp $S$ với tâm của đáy hình vuông $O$. - Tâm của đáy hình vuông $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông, và khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh của đáy là $\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a$. - Chiều cao của chóp là $2a$, do đó khoảng cách từ đỉnh chóp $S$ đến tâm đáy $O$ là $2a$. - Bán kính $R$ của khối cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm chóp đến đỉnh chóp hoặc đỉnh đáy, tức là: \[ R = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] 3. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp: - Công thức thể tích của khối cầu là $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. - Thay $R = a\sqrt{5}$ vào công thức: \[ V = \frac{4}{3}\pi (a\sqrt{5})^3 = \frac{4}{3}\pi a^3 (\sqrt{5})^3 = \frac{4}{3}\pi a^3 \cdot 5\sqrt{5} = \frac{20\sqrt{5}}{3}\pi a^3 \] Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là: \[ V = \frac{20\sqrt{5}}{3}\pi a^3 \]