Giúp mình với!

Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABCD\) với các cạnh \(AB = BC = CD = DA = 1\) và \(AC, BD\) thay đổi, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình học và tính toán: - Tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB = BC = CD = DA = 1\). - Ta sẽ tính thể tích của khối tứ diện này dựa trên công thức thể tích của khối tứ diện. 2. Tính thể tích khối tứ diện: - Thể tích \(V\) của khối tứ diện \(ABCD\) được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) \right| \] - Để đơn giản hóa, ta giả sử \(A\) là gốc tọa độ \((0, 0, 0)\), \(B\) là \((1, 0, 0)\), \(C\) là \((x_1, y_1, z_1)\), và \(D\) là \((x_2, y_2, z_2)\). 3. Áp dụng điều kiện cạnh: - Các cạnh \(AB = BC = CD = DA = 1\) cung cấp các ràng buộc về khoảng cách giữa các đỉnh: \[ AB = 1 \implies B(1, 0, 0) \] \[ BC = 1 \implies C(x_1, y_1, z_1) \text{ sao cho } (x_1 - 1)^2 + y_1^2 + z_1^2 = 1 \] \[ CD = 1 \implies D(x_2, y_2, z_2) \text{ sao cho } (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = 1 \] \[ DA = 1 \implies D(x_2, y_2, z_2) \text{ sao cho } x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = 1 \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Để tối đa hóa thể tích, ta cần tối đa hóa diện tích đáy và chiều cao của khối tứ diện. - Diện tích đáy \(S_{ABC}\) và chiều cao từ \(D\) xuống mặt phẳng \(ABC\) cần được tối ưu hóa. 5. Áp dụng đạo hàm để tối ưu hóa: - Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực đại của thể tích. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta nhận thấy rằng khi \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau, thể tích đạt giá trị lớn nhất. 6. Kết luận: - Khi \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau, thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất. - Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là \(\frac{\sqrt{2}}{12}\). Do đó, giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là \(\frac{\sqrt{2}}{12}\).