Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 46. Tìm $x\in N$ biết :,$\frac1{21}+\frac1{28}+\frac1{36}+...+\frac2{x(x+0)}=\frac29.$

Question

Accepted Answer

Để tìm $ x \in \mathbb{N} $ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + ... + \frac{2}{x(x+0)} = \frac{2}{9}$, chúng ta sẽ phân tích từng phân số và tìm quy luật của dãy số.

Nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{21} = \frac{2}{42}, \quad \frac{1}{28} = \frac{2}{56}, \quad \frac{1}{36} = \frac{2}{72}, \quad \text{v.v.} $$

Các phân số này đều có dạng $\frac{2}{n(n+1)}$. Ta có thể viết lại dưới dạng:
$$ \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $$

Áp dụng công thức trên cho các phân số trong dãy:
$$ \frac{2}{42} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) $$
$$ \frac{2}{56} = 2 \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) $$
$$ \frac{2}{72} = 2 \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) $$
$$ \vdots $$
$$ \frac{2}{x(x+1)} = 2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) $$

Khi cộng tất cả các phân số này lại, ta nhận thấy rằng đây là một dãy số có tính chất rút gọn:
$$ \frac{2}{42} + \frac{2}{56} + \frac{2}{72} + \cdots + \frac{2}{x(x+1)} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) $$

Tất cả các số hạng trừ giữa các phân số sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại:
$$ 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{x+1} \right) $$

Theo đề bài, tổng này phải bằng $\frac{2}{9}$:
$$ 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{x+1} \right) = \frac{2}{9} $$

Chia cả hai vế cho 2:
$$ \frac{1}{6} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{9} $$

Di chuyển $\frac{1}{6}$ sang vế phải:
$$ - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{6} $$

Quy đồng mẫu số:
$$ \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = \frac{2}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{1}{18} $$

Do đó:
$$ - \frac{1}{x+1} = -\frac{1}{18} $$

Bỏ dấu trừ ở cả hai vế:
$$ \frac{1}{x+1} = \frac{1}{18} $$

Từ đó suy ra:
$$ x + 1 = 18 $$
$$ x = 17 $$

Vậy $ x = 17 $.

Đáp số: $ x = 17 $.