Giải giúp mình

Câu 12. Để xác định tam thức bậc hai từ bảng xét dấu, ta cần dựa vào các đặc điểm của bảng xét dấu và tính chất của tam thức bậc hai. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam thức bậc hai có dạng tổng quát là \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Bảng xét dấu cho biết các giá trị của \( x \) làm cho \( f(x) \) dương, âm hoặc bằng không. Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: - \( f(x) \) âm khi \( x < -1 \) - \( f(x) \) dương khi \( -1 < x < 5 \) - \( f(x) \) âm khi \( x > 5 \) Từ đây, ta suy ra rằng \( f(x) \) có hai nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 5 \). Tiếp theo, ta kiểm tra các đáp án đã cho: A. \( f(x) = x^2 - 4x - 5 \) B. \( f(x) = -x^2 - 4x + 5 \) C. \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) D. \( f(x) = -x^2 + 4x - 5 \) Ta thử nghiệm từng đáp án: - Với \( f(x) = x^2 - 4x - 5 \): \( f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 \) \( f(5) = 5^2 - 4(5) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0 \) Tuy nhiên, \( f(x) \) dương khi \( x < -1 \) và \( x > 5 \), trái với bảng xét dấu. - Với \( f(x) = -x^2 - 4x + 5 \): \( f(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8 \neq 0 \) \( f(5) = -(5)^2 - 4(5) + 5 = -25 - 20 + 5 = -40 \neq 0 \) Không thỏa mãn. - Với \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \): \( f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0 \) \( f(5) = -(5)^2 + 4(5) + 5 = -25 + 20 + 5 = 0 \) \( f(x) \) âm khi \( x < -1 \) và \( x > 5 \), dương khi \( -1 < x < 5 \), đúng với bảng xét dấu. - Với \( f(x) = -x^2 + 4x - 5 \): \( f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - 5 = -1 - 4 - 5 = -10 \neq 0 \) \( f(5) = -(5)^2 + 4(5) - 5 = -25 + 20 - 5 = -10 \neq 0 \) Không thỏa mãn. Vậy tam thức bậc hai trong bảng xét dấu là \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Đáp án đúng là: C. \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một dựa trên đồ thị hàm số bậc hai đã cho. a) Đồng biến trên khoảng $(-\infty;2);$ nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$ - Đồ thị hàm số bậc hai mở rộng lên trên (do hệ số $a > 0$). Vì vậy, hàm số sẽ đồng biến từ đỉnh của parabol trở đi. - Từ đỉnh $I(2, -1)$, hàm số sẽ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$. Do đó, lựa chọn này sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$. b) x thuộc các khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$ thì $f(x)>0$ - Trên đồ thị, ta thấy rằng hàm số cắt trục hoành tại hai điểm $x = 1$ và $x = 3$. - Khi $x < 1$ hoặc $x > 3$, hàm số nằm phía trên trục hoành, tức là $f(x) > 0$. Do đó, lựa chọn này đúng. c) Toạ độ đỉnh $I(2;-1),$ trục đối xứng $x=2$ - Đỉnh của đồ thị hàm số bậc hai là điểm thấp nhất của parabol, và từ đồ thị, ta thấy đỉnh nằm tại điểm $(2, -1)$. - Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai đi qua đỉnh của parabol, do đó trục đối xứng là $x = 2$. Do đó, lựa chọn này đúng. d) Hệ số $a>0;c>0$ - Do đồ thị hàm số bậc hai mở rộng lên trên, hệ số $a$ phải lớn hơn 0 ($a > 0$). - Ta thấy rằng đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, c)$, và từ đồ thị, ta thấy điểm này nằm phía trên trục hoành, tức là $c > 0$. Do đó, lựa chọn này đúng. Kết luận: - Lựa chọn a) sai. - Lựa chọn b), c), và d) đúng. Đáp án: b, c, d. Câu 2. a) Đường tròn $(C):(x+3)^2+(y-2)^2=8$ có tâm $I(-3;2)$ và bán kính $R=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. b) Ta tính khoảng cách từ tâm $I(-3;2)$ đến đường thẳng $\Delta:2x-y+2024=0$: \[ d(I,\Delta)=\frac{|2\times (-3)-2+2024|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|-6-2+2024|}{\sqrt{5}}=\frac{2016}{\sqrt{5}}. \] Ta thấy $d(I,\Delta) > R$, do đó đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn $(C)$. c) Đường thẳng $\Delta:2x-y+2024=0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2,-1)$. d) Để tìm phương trình đường tròn tâm $I(5;2024)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$, ta cần tính khoảng cách từ tâm $I(5;2024)$ đến đường thẳng $\Delta$. Khoảng cách này sẽ là bán kính của đường tròn. \[ d(I,\Delta)=\frac{|2\times 5 - 2024 + 2024|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|10|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}. \] Do đó, phương trình đường tròn tâm $I(5;2024)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ là: \[ (x-5)^2 + (y-2024)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20. \] Đáp số: a) Tâm $I(-3;2)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$. b) Đường thẳng $\Delta$ không cắt đường tròn $(C)$. c) Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2,-1)$. d) Phương trình đường tròn: $(x-5)^2 + (y-2024)^2 = 20$. Câu 1. Để xác định phương trình của parabol \( y = ax^2 + bx + c \), ta cần tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). Trước tiên, ta biết rằng parabol đi qua điểm \( M(0;2) \). Điều này có nghĩa là khi \( x = 0 \), \( y = 2 \). Thay vào phương trình parabol, ta có: \[ 2 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ 2 = c \] Do đó, ta đã tìm được \( c = 2 \). Tiếp theo, ta biết rằng đỉnh của parabol là \( I(2;-1) \). Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( \left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \). Vì vậy, ta có: \[ -\frac{b}{2a} = 2 \] \[ b = -4a \] Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \) vào phương trình parabol, ta có: \[ -1 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ -1 = 4a + 2b + 2 \] \[ -1 = 4a + 2(-4a) + 2 \] \[ -1 = 4a - 8a + 2 \] \[ -1 = -4a + 2 \] \[ -3 = -4a \] \[ a = \frac{3}{4} \] Bây giờ, ta đã tìm được \( a = \frac{3}{4} \). Thay \( a = \frac{3}{4} \) vào \( b = -4a \), ta có: \[ b = -4 \left(\frac{3}{4}\right) \] \[ b = -3 \] Vậy, phương trình của parabol là: \[ y = \frac{3}{4}x^2 - 3x + 2 \] Cuối cùng, ta cần tính \( a + b + c \): \[ a + b + c = \frac{3}{4} - 3 + 2 \] \[ a + b + c = \frac{3}{4} - \frac{12}{4} + \frac{8}{4} \] \[ a + b + c = \frac{3 - 12 + 8}{4} \] \[ a + b + c = \frac{-1}{4} \] Đáp số: \( a + b + c = -\frac{1}{4} \) Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của đỉnh C. 2. Tìm tọa độ của trọng tâm G. 3. Tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tìm tọa độ của đỉnh C Đỉnh C thuộc đường thẳng \(d: x - 4 = 0\), tức là \(x = 4\). Do đó, tọa độ của đỉnh C có dạng \(C(4, y)\). Bước 2: Tìm tọa độ của trọng tâm G Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B và C: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) \] Thay tọa độ của A, B và C vào: \[ G\left(\frac{1 + (-2) + 4}{3}, \frac{1 + 5 + y}{3}\right) = G\left(\frac{3}{3}, \frac{6 + y}{3}\right) = G(1, \frac{6 + y}{3}) \] Bước 3: Tìm tọa độ của G trên đường thẳng \(d'\) Trọng tâm G nằm trên đường thẳng \(d': 2x - 3y + 6 = 0\). Thay tọa độ của G vào phương trình này: \[ 2(1) - 3\left(\frac{6 + y}{3}\right) + 6 = 0 \] \[ 2 - (6 + y) + 6 = 0 \] \[ 2 - 6 - y + 6 = 0 \] \[ 2 - y = 0 \] \[ y = 2 \] Do đó, tọa độ của đỉnh C là \(C(4, 2)\). Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \] Thay tọa độ của A, B và C vào: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 1(5 - 2) + (-2)(2 - 1) + 4(1 - 5) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-4) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 3 - 2 - 16 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -15 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 15 \] \[ S_{ABC} = 7.5 \] Vậy diện tích tam giác ABC là 7.5. Câu 3. Để tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \) luôn dương, ta cần đảm bảo rằng biểu thức này không có nghiệm thực và hệ số \( m \) phải dương. Bước 1: Xác định điều kiện của hệ số \( m \) - Để biểu thức \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \) luôn dương, hệ số \( m \) phải lớn hơn 0, tức là \( m > 0 \). Bước 2: Xét dấu của biểu thức - Biểu thức \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \) là một đa thức bậc hai. Để biểu thức này luôn dương, nó không được phép có nghiệm thực, nghĩa là phương trình \( mx^2 + 2x + 1 = 0 \) không có nghiệm. Bước 3: Áp dụng điều kiện không có nghiệm thực - Điều kiện để phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) không có nghiệm thực là \( \Delta < 0 \), trong đó \( \Delta = b^2 - 4ac \). Áp dụng vào biểu thức \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \): - \( a = m \) - \( b = 2 \) - \( c = 1 \) Ta có: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = 4 - 4m \] Để biểu thức không có nghiệm thực, ta cần: \[ 4 - 4m < 0 \] \[ 4 < 4m \] \[ 1 < m \] \[ m > 1 \] Bước 4: Kết luận - Để biểu thức \( f(x) = mx^2 + 2x + 1 \) luôn dương, ta cần \( m > 1 \). Vậy giá trị của \( m \) để biểu thức luôn dương là: \[ \boxed{m > 1} \] Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tìm tọa độ điểm tiếp xúc của dây với mặt đất. 1. Xác định hệ tọa độ: - Lấy gốc tọa độ O tại tâm của khoảng cách giữa hai chân cổng. - Trục Ox nằm ngang, song song với mặt đất. - Trục Oy thẳng đứng, vuông góc với mặt đất. 2. Xác định các điểm đã biết: - Hai chân cổng ở hai đầu của khoảng cách 162m, tức là các điểm (-81, 0) và (81, 0). - Điểm trên thành cổng có tọa độ (x, 43). 3. Lập phương trình parabol: - Vì parabol đi qua hai điểm (-81, 0) và (81, 0), ta có thể viết phương trình parabol dưới dạng: \[ y = a(x + 81)(x - 81) \] - Thay tọa độ điểm (x, 43) vào phương trình: \[ 43 = a(x + 81)(x - 81) \] 4. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc của dây với mặt đất: - Gọi tọa độ điểm tiếp xúc của dây với mặt đất là (10, 0). - Thay tọa độ này vào phương trình parabol: \[ 0 = a(10 + 81)(10 - 81) \] \[ 0 = a(91)(-71) \] \[ 0 = -6461a \] \[ a = 0 \] 5. Tìm giá trị của \(a\): - Ta có phương trình: \[ 43 = a(x + 81)(x - 81) \] - Thay \(x = 10\) vào phương trình: \[ 43 = a(10 + 81)(10 - 81) \] \[ 43 = a(91)(-71) \] \[ 43 = -6461a \] \[ a = -\frac{43}{6461} \] 6. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc của dây với mặt đất: - Phương trình parabol là: \[ y = -\frac{43}{6461}(x + 81)(x - 81) \] - Thay \(y = 0\) vào phương trình: \[ 0 = -\frac{43}{6461}(x + 81)(x - 81) \] \[ (x + 81)(x - 81) = 0 \] \[ x = -81 \text{ hoặc } x = 81 \] 7. Kết luận: - Điểm tiếp xúc của dây với mặt đất là (-81, 0) và (81, 0). Đáp số: Điểm tiếp xúc của dây với mặt đất là (-81, 0) và (81, 0).