giúp mình với nhé

Câu 1. Trước tiên, ta cần tìm diện tích đáy của khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Vì đáy là tam giác đều cạnh bằng 5, ta có: Diện tích đáy S_ABC = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ Tiếp theo, ta cần tìm chiều cao của khối lăng trụ. Ta biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Do đó, khoảng cách từ A' đến mặt phẳng (ABC) chính là chiều cao của khối lăng trụ. Ta cũng biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{5\sqrt{3}}{4}$. Ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian để tìm chiều cao của khối lăng trụ. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AA' và BC được tính bằng công thức: d(AA', BC) = $\frac{|(\vec{AA'} \times \vec{BC}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ Trong đó, $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Ta có: $\vec{AA'} = \vec{AG} + \vec{GA'}$ $\vec{BC} = \vec{B} - \vec{C}$ $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta có thể chọn $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ Sau khi tính toán, ta có: d(AA', BC) = $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ Từ đây, ta suy ra chiều cao của khối lăng trụ là h = $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ Cuối cùng, ta tính thể tích của khối lăng trụ bằng công thức: V = S_ABC × h V = $\frac{25\sqrt{3}}{4} \times \frac{5\sqrt{3}}{4}$ V ≈ 31.25 Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là 31 (đơn vị thể tích). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ điểm A đến điểm B thông qua con đường nhựa. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa đường đi bằng cách kết hợp cả hai loại đường (đường sa mạc và đường nhựa). 1. Xác định các điểm và khoảng cách: - Điểm A và điểm B cách nhau 70 km. - Con đường nhựa cách đường nối A và B một đoạn 10 km. 2. Lập phương trình để tối ưu hóa thời gian: Giả sử nhà địa chất đi từ điểm A đến điểm C trên con đường nhựa với khoảng cách là \( x \) km, sau đó đi từ điểm C đến điểm B trên đường nhựa với khoảng cách là \( y \) km. 3. Tính khoảng cách từ A đến C và từ C đến B: - Khoảng cách từ A đến C là \( x \) km. - Khoảng cách từ C đến B là \( y \) km. - Tổng khoảng cách từ A đến B là 70 km, do đó \( x + y = 70 \). 4. Tính thời gian đi trên đường sa mạc và đường nhựa: - Thời gian đi từ A đến C trên đường sa mạc là \( \frac{x}{30} \) giờ. - Thời gian đi từ C đến B trên đường nhựa là \( \frac{y}{50} \) giờ. 5. Tổng thời gian đi từ A đến B: \[ T = \frac{x}{30} + \frac{y}{50} \] 6. Thay \( y = 70 - x \) vào phương trình thời gian: \[ T = \frac{x}{30} + \frac{70 - x}{50} \] 7. Rút gọn phương trình: \[ T = \frac{x}{30} + \frac{70 - x}{50} = \frac{5x + 3(70 - x)}{150} = \frac{5x + 210 - 3x}{150} = \frac{2x + 210}{150} = \frac{2x + 210}{150} = \frac{x + 105}{75} \] 8. Tìm giá trị \( x \) để thời gian \( T \) nhỏ nhất: Để tối ưu hóa thời gian, chúng ta cần tìm giá trị \( x \) sao cho \( T \) nhỏ nhất. Ta có: \[ T = \frac{x + 105}{75} \] Đạo hàm của \( T \) theo \( x \): \[ \frac{dT}{dx} = \frac{1}{75} \] Vì đạo hàm là hằng số dương, nên \( T \) luôn tăng khi \( x \) tăng. Do đó, để \( T \) nhỏ nhất, \( x \) cần nhỏ nhất. 9. Xác định giá trị \( x \) nhỏ nhất: Vì \( x \) phải lớn hơn hoặc bằng 0, ta chọn \( x = 0 \). Khi đó: \[ y = 70 - x = 70 \] 10. Tính thời gian đi từ A đến B: \[ T = \frac{0 + 105}{75} = \frac{105}{75} = 1.4 \text{ giờ} \] 11. Chuyển đổi thời gian sang phút: \[ 1.4 \text{ giờ} = 1.4 \times 60 = 84 \text{ phút} \] Vậy thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là 84 phút. Câu 3. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của vật theo thời gian. Vận tốc \(v\) là đạo hàm của quãng đường \(s\) theo thời gian \(t\): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 10t + 2\right) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3\right) = t^2 \] \[ \frac{d}{dt}\left(-\frac{3}{2}t^2\right) = -3t \] \[ \frac{d}{dt}(10t) = 10 \] \[ \frac{d}{dt}(2) = 0 \] Vậy vận tốc của vật là: \[ v(t) = t^2 - 3t + 10 \] Theo đề bài, ta cần tìm thời điểm \(t\) khi vận tốc đạt 20 m/s: \[ t^2 - 3t + 10 = 20 \] Rearrange phương trình: \[ t^2 - 3t + 10 - 20 = 0 \] \[ t^2 - 3t - 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -3\), và \(c = -10\): \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm 7}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t = \frac{3 + 7}{2} = 5 \] \[ t = \frac{3 - 7}{2} = -2 \] Vì thời gian \(t\) không thể âm, ta chọn \(t = 5\) giây. Bây giờ, ta tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 5 giây: \[ s(5) = \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 + 10(5) + 2 \] \[ s(5) = \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + 50 + 2 \] Chuyển các phân số về cùng mẫu số: \[ \frac{125}{3} = \frac{250}{6} \] \[ \frac{75}{2} = \frac{225}{6} \] Vậy: \[ s(5) = \frac{250}{6} - \frac{225}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{250 - 225}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{25}{6} + 50 + 2 \] \[ s(5) = \frac{25}{6} + 52 \] Chuyển 52 về dạng phân số có mẫu số 6: \[ 52 = \frac{312}{6} \] Vậy: \[ s(5) = \frac{25}{6} + \frac{312}{6} \] \[ s(5) = \frac{337}{6} \approx 56.1667 \] Làm tròn đến hàng phần chục: \[ s(5) \approx 56.2 \text{ mét} \] Đáp số: Quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là 56.2 mét. Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm liên quan. 2. Tính toán các vectơ liên quan. 3. Tìm góc $\widehat{O^\prime I D}$ và xác định điều kiện để góc này đạt giá trị lớn nhất. 4. Tính toán các lực căng và khối lượng của tấm bảng. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm liên quan - Điểm $O^\prime(0;0;5)$ - Điểm $A(-\sqrt{2};\sqrt{2};5)$ - Điểm $I(0;0;9)$ - Điểm $D(a;b;c)$ với $a > 0$, $c > 5$ Bước 2: Tính toán các vectơ liên quan - Vectơ $\overrightarrow{O^\prime I} = (0 - 0, 0 - 0, 9 - 5) = (0, 0, 4)$ - Vectơ $\overrightarrow{ID} = (a - 0, b - 0, c - 9) = (a, b, c - 9)$ Bước 3: Tìm góc $\widehat{O^\prime I D}$ và xác định điều kiện để góc này đạt giá trị lớn nhất Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{O^\prime I}$ và $\overrightarrow{ID}$ được xác định bằng công thức: \[ \cos(\widehat{O^\prime I D}) = \frac{\overrightarrow{O^\prime I} \cdot \overrightarrow{ID}}{|\overrightarrow{O^\prime I}| |\overrightarrow{ID}|} \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{O^\prime I} \cdot \overrightarrow{ID} = 0 \cdot a + 0 \cdot b + 4 \cdot (c - 9) = 4(c - 9) \] Phân tích: \[ |\overrightarrow{O^\prime I}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4 \] \[ |\overrightarrow{ID}| = \sqrt{a^2 + b^2 + (c - 9)^2} \] Do đó: \[ \cos(\widehat{O^\prime I D}) = \frac{4(c - 9)}{4 \sqrt{a^2 + b^2 + (c - 9)^2}} = \frac{c - 9}{\sqrt{a^2 + b^2 + (c - 9)^2}} \] Để góc $\widehat{O^\prime I D}$ đạt giá trị lớn nhất, $\cos(\widehat{O^\prime I D})$ phải đạt giá trị lớn nhất, tức là: \[ \frac{c - 9}{\sqrt{a^2 + b^2 + (c - 9)^2}} \text{ đạt giá trị lớn nhất khi } a = b = 0 \] Bước 4: Tính toán các lực căng và khối lượng của tấm bảng - Ta có $|\overrightarrow{F_1}| = 50 N$ và $|\overrightarrow{F_2}| = 40 N$ - Các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ tạo thành một hệ cân bằng với trọng lượng của tấm bảng. Trọng lượng của tấm bảng: \[ P = |\overrightarrow{F_1}| + |\overrightarrow{F_2}| + |\overrightarrow{F_3}| + |\overrightarrow{F_4}| \] Vì các lực căng đều cân bằng, ta có: \[ |\overrightarrow{F_3}| = |\overrightarrow{F_1}| = 50 N \] \[ |\overrightarrow{F_4}| = |\overrightarrow{F_2}| = 40 N \] Do đó: \[ P = 50 + 40 + 50 + 40 = 180 N \] Khối lượng của tấm bảng: \[ m = \frac{P}{g} = \frac{180}{9,8} \approx 18,37 \text{ kg} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ m \approx 18 \text{ kg} \] Đáp số: Khối lượng của tấm bảng là 18 kg.