Giúp mình với! 9. Tính nhanh,$\frac1{20}+\frac1{30}+\frac1{42}+\frac1{56}+\frac1{72}+\frac1{90}+\frac1{110}+\frac1{132}$

Question

Accepted Answer

Để tính nhanh tổng $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132}$, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích các phân số thành hiệu của hai phân số.

Ta nhận thấy rằng:
$$
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
$$

Áp dụng phương pháp này vào từng phân số trong tổng:

$$
\frac{1}{20} = \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}
$$
$$
\frac{1}{30} = \frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}
$$
$$
\frac{1}{42} = \frac{1}{6 \times 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}
$$
$$
\frac{1}{56} = \frac{1}{7 \times 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}
$$
$$
\frac{1}{72} = \frac{1}{8 \times 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}
$$
$$
\frac{1}{90} = \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}
$$
$$
\frac{1}{110} = \frac{1}{10 \times 11} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11}
$$
$$
\frac{1}{132} = \frac{1}{11 \times 12} = \frac{1}{11} - \frac{1}{12}
$$

Bây giờ, ta cộng tất cả các phân số đã phân tích lại với nhau:

$$
\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right)
$$

Nhận thấy rằng các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:

$$
\frac{1}{4} - \frac{1}{12}
$$

Tính hiệu này:

$$
\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
$$

Vậy, tổng $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90} + \frac{1}{110} + \frac{1}{132}$ là $\frac{1}{6}$.

Đáp số: $\frac{1}{6}$