Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, BD là tia đối AB. Kẻ AI vuông góc DH tại E (I thuộc HC). Chứng minh HI=IC

Để chứng minh HI = IC, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao. 1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: - AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. - Do đó, tam giác AHB và tam giác AHC đều là tam giác vuông tại H. 2. Ta xét tiếp tam giác AHD vuông tại H: - Vì AI vuông góc với DH tại E, nên tam giác AIE cũng là tam giác vuông tại E. 3. Ta cần chứng minh HI = IC. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng tam giác HIC là tam giác cân tại I. 4. Xét tam giác AHB và tam giác AHC: - Cả hai tam giác đều có chung cạnh AH. - Tam giác AHB có góc HAB = 90° - góc BAC. - Tam giác AHC có góc HAC = 90° - góc BAC. 5. Do đó, góc HAB = góc HAC, tức là góc HAI = góc CAI. 6. Xét tam giác AIE và tam giác AHE: - Cả hai tam giác đều có chung cạnh AE. - Góc AIE = góc AHE = 90°. - Góc HAI = góc CAI (chứng minh ở trên). 7. Do đó, tam giác AIE và tam giác AHE là tam giác đồng dạng theo trường hợp góc - góc - cạnh (góc AIE = góc AHE, góc HAI = góc CAI, và cạnh AE chung). 8. Từ đó, ta có: - IE = HE (cạnh tương ứng trong tam giác đồng dạng). 9. Xét tam giác HIC: - Vì IE = HE, nên tam giác HIC là tam giác cân tại I. 10. Do đó, HI = IC. Vậy ta đã chứng minh được HI = IC.