HelpGiúp mình với! của các sự kiện đồng xu sấp.,Bài 5: a) (0,5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: $M=\frac{20}{1.5}+\frac{25}{5.10}+\frac{30}{10.16}+\frac{35}{16.23}+\frac{40}{23.31}$,b) (0,5 điểm) Chứng tỏ rằng: $P=\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...+\frac1{2002^2}+\frac1{2003^2}

Question

HelpGiúp mình với! của các sự kiện đồng xu sấp.,Bài 5: a) (0,5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: $M=\frac{20}{1.5}+\frac{25}{5.10}+\frac{30}{10.16}+\frac{35}{16.23}+\frac{40}{23.31}$,b) (0,5 điểm) Chứng tỏ rằng: $P=\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...+\frac1{2002^2}+\frac1{2003^2}<1$,Câu 6. (1,5 điểm). Thực hiện phép tính (Tính hợp lí nếu có thể),$a)~25\%-1\frac14+0,5.$ $b)~5,3-(-5,1)+(-5,3)+4,9$ $c)~(-3,6).1,93+1,93.(-6,4)$,$d)~2,5-(-5,6)+(-2,5)+4,4$ $e)~75\%+1\frac14-0,5$ $g)~6,7.13,8-3,8.6,7$,Câu 7. (2,0 điểm). Tìm x biết $a)~7,56-x=9,86$ $b)~x-\frac29=\frac{-7}{18}$ $c)~\frac4{15}-\frac23x=\frac45$,$d)~\frac4{x-2}=\frac{x-2}9$ $e)~x-\frac34=\frac{-2}3$ $g)~\frac5{36}x-\frac56=\frac{-3}4$ $h)~\frac{x-3}2=\frac8{x-3}$,Câu 8. (1,5 điểm) Lớp 6A có 48 học sinh gồm ba loại giỏi, khá, đạt ( không có học sinh xếp loại chưa đạt) trong đó,số học sinh giỏi chiếm 25% số học sinh cả lớp, số học sinh khá chiếm $\frac13$ số học sinh còn lại. Số học sinh xếp loại đạt,chiếm bao nhiêu % số học sinh cả lớp ?,Câu 9. (1,5 điểm) Vẽ đường thẳng xy, lấy điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho $OA=$,2cm. Trên tia Oy lấy điểm B sao cho $OB=2~cm.$,a) Tính độ đoạn thẳng AB.,b) Hỏi điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?,c) Vẽ tia Oz sao cho góc $xOz=60^0.$ So sánh số đo góc xOz và góc xOy?,Câu 10. (1,5 điểm). Lớp 6B có 40 học sinh gồm ba loại giỏi, khá, đạt ( không có học sinh xếp loại chưa đạt) trong,ló số học sinh giỏi chiếm 25% số học sinh cả lớp, số học sinh khá chiếm $\frac25$ số học sinh còn lại. Số học sinh xếp loại,ạt chiếm bao nhiêu % số học sinh cả lớp ?,âu 10. (1,5 điểm). Vẽ đường thẳng xy, lấy điểm M thuộc đường thẳng xy. Trên tia Mx lấy điểm P sao cho $MP=$,m. Trên tia My lấy điểm Q sao cho $MQ=3~cm.$,Tính độ đoạn thẳng PQ.,1

Accepted Answer

Bài 5:
a) Ta có:
$$ M = \frac{20}{1 \times 5} + \frac{25}{5 \times 10} + \frac{30}{10 \times 16} + \frac{35}{16 \times 23} + \frac{40}{23 \times 31} $$

Nhận thấy rằng các phân số này có dạng $\frac{n(n+d)}{n(n+d)}$, ta có thể viết lại như sau:
$$ M = \frac{4 \times 5}{1 \times 5} + \frac{5 \times 5}{5 \times 10} + \frac{6 \times 5}{10 \times 16} + \frac{7 \times 5}{16 \times 23} + \frac{8 \times 5}{23 \times 31} $$

Simplifying each term:
$$ M = \frac{4}{1} + \frac{5}{10} + \frac{6}{16} + \frac{7}{23} + \frac{8}{31} $$

$$ M = 4 + 0.5 + 0.375 + 0.3043 + 0.2581 $$

Tính tổng các giá trị trên:
$$ M = 4 + 0.5 + 0.375 + 0.3043 + 0.2581 = 5.4374 $$

b) Để chứng tỏ rằng:
$$ P = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... + \frac{1}{2002^2} + \frac{1}{2003^2} < 1 $$

Ta nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \text{ cho } n > 1 $$

Do đó:
$$ \frac{1}{2^2} < \frac{1}{2 \times 1} $$
$$ \frac{1}{3^2} < \frac{1}{3 \times 2} $$
$$ \frac{1}{4^2} < \frac{1}{4 \times 3} $$
$$ ... $$
$$ \frac{1}{2003^2} < \frac{1}{2003 \times 2002} $$

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại:
$$ P < \left( \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{3 \times 2} + \frac{1}{4 \times 3} + ... + \frac{1}{2003 \times 2002} \right) $$

Nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$

Do đó:
$$ P < \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2002} - \frac{1}{2003} \right) $$

Các số hạng giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$$ P < 1 - \frac{1}{2003} $$

Vì $\frac{1}{2003}$ là một số rất nhỏ, nên:
$$ P < 1 $$

Vậy ta đã chứng tỏ được rằng:
$$ P < 1 $$

Câu 6.
a) Ta có:
$$ 25\% - 1\frac{1}{4} + 0,5 = \frac{25}{100} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{1 - 5}{4} + \frac{1}{2} $$
$$ = -\frac{4}{4} + \frac{1}{2} $$
$$ = -1 + \frac{1}{2} $$
$$ = -\frac{2}{2} + \frac{1}{2} $$
$$ = -\frac{1}{2} $$

b) Ta có:
$$ 5,3 - (-5,1) + (-5,3) + 4,9 = 5,3 + 5,1 - 5,3 + 4,9 $$
$$ = (5,3 - 5,3) + (5,1 + 4,9) $$
$$ = 0 + 10 $$
$$ = 10 $$

c) Ta có:
$$ (-3,6) \times 1,93 + 1,93 \times (-6,4) = 1,93 \times (-3,6 - 6,4) $$
$$ = 1,93 \times (-10) $$
$$ = -19,3 $$

d) Ta có:
$$ 2,5 - (-5,6) + (-2,5) + 4,4 = 2,5 + 5,6 - 2,5 + 4,4 $$
$$ = (2,5 - 2,5) + (5,6 + 4,4) $$
$$ = 0 + 10 $$
$$ = 10 $$

e) Ta có:
$$ 75\% + 1\frac{1}{4} - 0,5 = \frac{75}{100} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{3 + 5}{4} - \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{8}{4} - \frac{1}{2} $$
$$ = 2 - \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{3}{2} $$

g) Ta có:
$$ 6,7 \times 13,8 - 3,8 \times 6,7 = 6,7 \times (13,8 - 3,8) $$
$$ = 6,7 \times 10 $$
$$ = 67 $$

Đáp số:
a) $-\frac{1}{2}$
b) $10$
c) $-19,3$
d) $10$
e) $\frac{3}{2}$
g) $67$

Câu 7.
a) $7,56 - x = 9,86$

Chuyển $x$ sang phía bên phải và chuyển $9,86$ sang phía bên trái:
$$7,56 - 9,86 = x$$

Thực hiện phép trừ:
$$-2,3 = x$$

Vậy $x = -2,3$.

b) $x - \frac{2}{9} = \frac{-7}{18}$

Chuyển $\frac{2}{9}$ sang phía bên phải:
$$x = \frac{-7}{18} + \frac{2}{9}$$

Quy đồng mẫu số:
$$x = \frac{-7}{18} + \frac{4}{18}$$

Thực hiện phép cộng:
$$x = \frac{-7 + 4}{18} = \frac{-3}{18} = \frac{-1}{6}$$

Vậy $x = \frac{-1}{6}$.

c) $\frac{4}{15} - \frac{2}{3}x = \frac{4}{5}$

Chuyển $\frac{4}{15}$ sang phía bên phải:
$-\frac{2}{3}x = \frac{4}{5} - \frac{4}{15}$

Quy đồng mẫu số:
$-\frac{2}{3}x = \frac{12}{15} - \frac{4}{15}$

Thực hiện phép trừ:
$-\frac{2}{3}x = \frac{8}{15}$

Nhân cả hai vế với $-\frac{3}{2}$:
$$x = \frac{8}{15} \times -\frac{3}{2} = \frac{8 \times -3}{15 \times 2} = \frac{-24}{30} = \frac{-4}{5}$$

Vậy $x = \frac{-4}{5}$.

d) $\frac{4}{x-2} = \frac{x-2}{9}$

Nhân cả hai vế với $(x-2)$ và $9$:
$$4 \times 9 = (x-2) \times (x-2)$$

Thực hiện phép nhân:
$$36 = (x-2)^2$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
$$x-2 = 6 \text{ hoặc } x-2 = -6$$

Giải hai phương trình:
$$x = 8 \text{ hoặc } x = -4$$

Vậy $x = 8$ hoặc $x = -4$.

e) $x - \frac{3}{4} = \frac{-2}{3}$

Chuyển $\frac{3}{4}$ sang phía bên phải:
$$x = \frac{-2}{3} + \frac{3}{4}$$

Quy đồng mẫu số:
$$x = \frac{-8}{12} + \frac{9}{12}$$

Thực hiện phép cộng:
$$x = \frac{-8 + 9}{12} = \frac{1}{12}$$

Vậy $x = \frac{1}{12}$.

g) $\frac{5}{36}x - \frac{5}{6} = \frac{-3}{4}$

Chuyển $\frac{5}{6}$ sang phía bên phải:
$$\frac{5}{36}x = \frac{-3}{4} + \frac{5}{6}$$

Quy đồng mẫu số:
$$\frac{5}{36}x = \frac{-9}{12} + \frac{10}{12}$$

Thực hiện phép cộng:
$$\frac{5}{36}x = \frac{-9 + 10}{12} = \frac{1}{12}$$

Nhân cả hai vế với $\frac{36}{5}$:
$$x = \frac{1}{12} \times \frac{36}{5} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$

Vậy $x = \frac{3}{5}$.

h) $\frac{x-3}{2} = \frac{8}{x-3}$

Nhân cả hai vế với $2$ và $(x-3)$:
$$(x-3) \times (x-3) = 8 \times 2$$

Thực hiện phép nhân:
$$(x-3)^2 = 16$$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế:
$$x-3 = 4 \text{ hoặc } x-3 = -4$$

Giải hai phương trình:
$$x = 7 \text{ hoặc } x = -1$$

Vậy $x = 7$ hoặc $x = -1$.

Câu 8.
Số học sinh giỏi của lớp 6A là

48 : 100 x 25 = 12 (học sinh)

Số học sinh khá của lớp 6A là

(48 – 12) : 3 = 12 (học sinh)

Số học sinh đạt của lớp 6A là

48 – (12 + 12) = 24 (học sinh)

Tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt so với số học sinh cả lớp là

24 : 48 = 0,5 = 50%

Đáp số: 50%

Câu 9.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

- Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm.
- Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 2 cm.

Do đó, đoạn thẳng AB sẽ là đoạn thẳng nối hai điểm A và B trên hai tia Ox và Oy.

b) Hỏi điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?

- Điểm O nằm giữa hai điểm A và B trên hai tia Ox và Oy.
- Độ dài OA = OB = 2 cm, do đó điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 60°. So sánh số đo góc xOz và góc xOy.

- Vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 60°.
- Số đo góc xOy là 180° (vì Ox và Oy là hai tia đối nhau).

So sánh số đo góc xOz và góc xOy:
- Số đo góc xOz = 60°.
- Số đo góc xOy = 180°.

Vậy số đo góc xOz nhỏ hơn số đo góc xOy.

Đáp số:
a) Độ dài đoạn thẳng AB = 4 cm.
b) Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB vì OA = OB = 2 cm.
c) Số đo góc xOz = 60°, số đo góc xOy = 180°, nên số đo góc xOz nhỏ hơn số đo góc xOy.

Câu 10.
Số học sinh giỏi của lớp 6B là

40 : 100 x 25 = 10 (học sinh)

Số học sinh còn lại của lớp 6B là

40 – 10 = 30 (học sinh)

Số học sinh khá của lớp 6B là

30 : 5 x 2 = 12 (học sinh)

Số học sinh đạt của lớp 6B là

40 – (10 + 12) = 18 (học sinh)

Số học sinh đạt chiếm số phần trăm là

18 : 40 = 0,45 = 45%

Đáp số: 45%