giải hộ mình 2. Tìm m để pt $x^2-2mx+(m-1)^3=0$ có 2,nghiệm phân biệt thoả mãn $x_1=x^2_2.$,B3: Cho (O; R) dây BC điểm A ( (O) sao cho,$\Delta ABC$ nhon và $AB0$ thoả mãn a b, bc $B+bc+ca=1.$,Tìm nàn cuả $Q=10a^\prime+10b^2+x^2.$,15

Question

giải hộ mình 2. Tìm m để pt $x^2-2mx+(m-1)^3=0$ có 2,nghiệm phân biệt thoả mãn $x_1=x^2_2.$,B3: Cho (O; R) dây BC điểm A ( (O) sao cho,$\Delta ABC$ nhon và $AB<AC.$ vẽ đường cao A CD của $\Delta ABC$,và ĐKính CM, hẻ $CE\bot AM$ tại E. Gọi H là trực,tâm của OABC, BH cắt AC tại R,a) cm tứ giác ADEC nội tiếp,b) cm $\widehat{ABH}=\widehat{DEA}$,$DE.BC=DC.BM$,$4)~Cho~a\geq0,~b\geq100,~c\geq1000.$ Tìm min của,$P=a+b+c+\frac1a+\frac1b+\frac1c.$,$5).~Cho~abc>0$ thoả mãn a b, bc $B+bc+ca=1.$,Tìm nàn cuả $Q=10a^\prime+10b^2+x^2.$,15

Accepted Answer

2. Tìm m để phương trình $x^2 - 2mx + (m-1)^3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1 = x_2^2$. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-1)^3 > 0 $$ $$ 4m^2 - 4(m-1)^3 > 0 $$ $$ m^2 - (m-1)^3 > 0 $$ Giả sử $x_1 = x_2^2$, ta có: $$ x_1 + x_2 = 2m $$ $$ x_1 \cdot x_2 = (m-1)^3 $$ Thay $x_1 = x_2^2$ vào: $$ x_2^2 + x_2 = 2m $$ $$ x_2^3 = (m-1)^3 $$ Từ $x_2^3 = (m-1)^3$, ta có: $$ x_2 = m-1 $$ Thay vào phương trình $x_2^2 + x_2 = 2m$: $$ (m-1)^2 + (m-1) = 2m $$ $$ m^2 - 2m + 1 + m - 1 = 2m $$ $$ m^2 - m = 2m $$ $$ m^2 - 3m = 0 $$ $$ m(m - 3) = 0 $$ Vậy $m = 0$ hoặc $m = 3$. Ta kiểm tra lại điều kiện $\Delta > 0$: - Với $m = 0$: $\Delta = 0^2 - 4(0-1)^3 = 4 > 0$ - Với $m = 3$: $\Delta = 3^2 - 4(3-1)^3 = 9 - 4 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 < 0$ (loại) Vậy $m = 0$ là giá trị thỏa mãn. 3. Cho (O; R) dây BC điểm A ( (O) sao cho $\Delta ABC$ nhọn và $AB < AC$. Vẽ đường cao AD của $\Delta ABC$ và đường kính CM, CE $\perp$ AM tại E. Gọi H là trực tâm của $\Delta ABC$, BH cắt AC tại R. a) Chứng minh tứ giác ADEC nội tiếp. b) Chứng minh $\widehat{ABH} = \widehat{DEA}$ và $DE \cdot BC = DC \cdot BM$. a) Chứng minh tứ giác ADEC nội tiếp: - Vì CE $\perp$ AM nên $\widehat{CEA} = 90^\circ$. - Vì AD là đường cao nên $\widehat{ADC} = 90^\circ$. - Vậy tứ giác ADEC có hai góc kề cạnh chung là góc vuông, do đó nội tiếp. b) Chứng minh $\widehat{ABH} = \widehat{DEA}$ và $DE \cdot BC = DC \cdot BM$: - Vì H là trực tâm của $\Delta ABC$, nên $\widehat{ABH} = 90^\circ - \widehat{BAC}$. - Vì tứ giác ADEC nội tiếp, nên $\widehat{DEA} = 90^\circ - \widehat{BAC}$. - Vậy $\widehat{ABH} = \widehat{DEA}$. - Xét tam giác DCE và tam giác MCB: - $\widehat{DCE} = \widehat{MCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CB). - $\widehat{CED} = \widehat{CMB} = 90^\circ$ (CE $\perp$ AM, CM là đường kính). - Vậy $\Delta DCE \sim \Delta MCB$ (giao - giao). - Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{DE}{DC} = \frac{BM}{BC}$. - Nhân cả hai vế với $DC \cdot BC$, ta được: $DE \cdot BC = DC \cdot BM$. 4. Cho $a \geq 0$, $b \geq 100$, $c \geq 1000$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2 $$ $$ b + \frac{1}{b} \geq 2 \sqrt{b \cdot \frac{1}{b}} = 2 $$ $$ c + \frac{1}{c} \geq 2 \sqrt{c \cdot \frac{1}{c}} = 2 $$ Do đó: $$ P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2 + 2 + 2 = 6 $$ Dấu bằng xảy ra khi $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$. Tuy nhiên, do $b \geq 100$ và $c \geq 1000$, nên giá trị nhỏ nhất thực tế sẽ lớn hơn 6. 5. Cho $abc > 0$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $Q = 10a^2 + 10b^2 + c^2$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ (10a^2 + 10b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (10a + 10b + c)^2 $$ $$ 3(10a^2 + 10b^2 + c^2) \geq (10a + 10b + c)^2 $$ Ta có: $$ 10a + 10b + c \geq 3 \sqrt[3]{100abc} $$ Vì $abc > 0$, ta có: $$ 10a + 10b + c \geq 3 \sqrt[3]{100} $$ Do đó: $$ Q = 10a^2 + 10b^2 + c^2 \geq \frac{(10a + 10b + c)^2}{3} \geq \frac{(3 \sqrt[3]{100})^2}{3} = 30 $$ Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = \sqrt[3]{\frac{1}{100}}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là 30.