ndkaosocjos Câu 1. Rút gọn biểu thức $P=x^{\frac13}.\sqrt[6]x$ với $x0$,$A.~P=\sqrt x.$ $B.~P=x^{\frac18}.$ $C.~P=x^{\frac29}.$ $D.~P=x^2.$,Câu 2. Hàm số $y=\log_5(4x-x^2)$ có tập xác định là1,$A.~D=(0;4).$ $B.~D=\boxed2.$,$C.~D=(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$ $D.~D=(0;+\infty).$,Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.. Góc giữa hai đường,thẳng BA và CD bằng:,$A.~45^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~90^0.$,Câu 4. Cho hình chóp s.ABC có $SA\bot(ABC);$ tam giác ABC đều cạnh,a và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng sc và,mặt phẳng $(ABC)$,,$A.~60^0.$ $B.~45^0.$ $C.~135^0.$ $D.~90^0.$,Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A'BC'D'. Tính góc giữa mặt phẳng,(ABCD) và (ACC'A').,$A.~45^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~90^0.$,Câu 6. Cho hình chóp s.ABCD có đáy là hình bình hành, cạnh bên,s^ vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (saD) bằng $\frac{6a}7.$ Tính,khoảng cách từ c đến mặt phẳng (saD)?,$A.~\frac{12a}7.$ $B.~\frac{3a}7.$ $C.~\frac{4a}7.$ $D.~\frac{6a}7.$,Câu 7. Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC AD đôi một vuông góc,và $AB=AC=2a,~AD=3a.$ Thể tích v của khối tứ diện đó là:,$A.~V=a^3.$ $B.~V=3a^3.$ $C.~V=2a^3.$ $D.~V=4a^3.$,Câu 8. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.,Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất 2 viên bi được chọn cùng,màu là:,$A.~P(X)=\frac5{18}.$ $B.~P(X)=\frac58.$ $C.~P(X)=\frac7{18}.$ $D.~P(X)=\frac78.$,Câu 9. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số,1,2,3.....,9 . ấyy nẫẫu nhiên mỗihộp một viê bii Biit rrng xác suấ đđể,lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là 3/10. Xác suất để lấy được,cả hai viên bi mang số chẵn là:,$A.~P=\frac2{18}$ $B.~P=\frac2{19}.$ $C.~P=\frac5{18}.$ $D.~P=\frac2{15}.$

Question

ndkaosocjos Câu 1. Rút gọn biểu thức $P=x^{\frac13}.\sqrt[6]x$ với $x>0$,$A.~P=\sqrt x.$ $B.~P=x^{\frac18}.$ $C.~P=x^{\frac29}.$ $D.~P=x^2.$,Câu 2. Hàm số $y=\log_5(4x-x^2)$ có tập xác định là1,$A.~D=(0;4).$ $B.~D=\boxed2.$,$C.~D=(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$ $D.~D=(0;+\infty).$,Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.. Góc giữa hai đường,thẳng BA và CD bằng:,$A.~45^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~90^0.$,Câu 4. Cho hình chóp s.ABC có $SA\bot(ABC);$ tam giác ABC đều cạnh,a và $SA=a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng sc và,mặt phẳng $(ABC)$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f63a6b0f48b845e8ba6199ef2231099b.jpg />,$A.~60^0.$ $B.~45^0.$ $C.~135^0.$ $D.~90^0.$,Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.A'BC'D'. Tính góc giữa mặt phẳng,(ABCD) và (ACC'A').,$A.~45^0.$ $B.~60^0.$ $C.~30^0.$ $D.~90^0.$,Câu 6. Cho hình chóp s.ABCD có đáy là hình bình hành, cạnh bên,s^ vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến (saD) bằng $\frac{6a}7.$ Tính,khoảng cách từ c đến mặt phẳng (saD)?,$A.~\frac{12a}7.$ $B.~\frac{3a}7.$ $C.~\frac{4a}7.$ $D.~\frac{6a}7.$,Câu 7. Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC  AD đôi một vuông góc,và $AB=AC=2a,~AD=3a.$ Thể tích v của khối tứ diện đó là:,$A.~V=a^3.$ $B.~V=3a^3.$ $C.~V=2a^3.$ $D.~V=4a^3.$,Câu 8. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.,Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất 2 viên bi được chọn cùng,màu là:,$A.~P(X)=\frac5{18}.$ $B.~P(X)=\frac58.$ $C.~P(X)=\frac7{18}.$ $D.~P(X)=\frac78.$,Câu 9. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số,1,2,3.....,9 . ấyy nẫẫu nhiên mỗihộp  một viê bii Biit rrng xác  suấ đđể,lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là 3/10. Xác suất để lấy được,cả hai viên bi mang số chẵn là:,$A.~P=\frac2{18}$ $B.~P=\frac2{19}.$ $C.~P=\frac5{18}.$ $D.~P=\frac2{15}.$

Accepted Answer

Câu 1. Để rút gọn biểu thức $ P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{x} $ với $ x > 0 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: $$ \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} $$ 2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $$ P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} $$ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ: $$ P = x^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)} $$ 3. Tính tổng các số mũ: $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$ 4. Viết kết quả cuối cùng: $$ P = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $$ Vậy biểu thức $ P $ được rút gọn thành $ \sqrt{x} $. Đáp án đúng là: $ A.~P = \sqrt{x} $. Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $ y = \log_5(4x - x^2) $, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: $$ 4x - x^2 > 0 $$ Bước 1: Giải bất phương trình $ 4x - x^2 > 0 $. Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: $$ x(4 - x) > 0 $$ Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. $ x = 0 $ và $ 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 $ Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. - Khi $ x < 0 $: Chọn $ x = -1 $, ta có $ (-1)(4 - (-1)) = (-1)(5) = -5 $ (dấu âm) - Khi $ 0 < x < 4 $: Chọn $ x = 2 $, ta có $ (2)(4 - 2) = (2)(2) = 4 $ (dấu dương) - Khi $ x > 4 $: Chọn $ x = 5 $, ta có $ (5)(4 - 5) = (5)(-1) = -5 $ (dấu âm) Từ đó, ta thấy rằng $ x(4 - x) > 0 $ khi $ 0 < x < 4 $. Vậy tập xác định của hàm số $ y = \log_5(4x - x^2) $ là: $$ D = (0, 4) $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ A.~D = (0, 4) $$ Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA đều song song với nhau và vuông góc với các mặt của hình lập phương. - Đường thẳng BA nằm trên mặt ABCD và vuông góc với đường thẳng AD. - Đường thẳng CD cũng nằm trên mặt ABCD và vuông góc với đường thẳng AD. Do đó, góc giữa hai đường thẳng BA và CD sẽ là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng trong cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là góc giữa BA và CD sẽ là góc vuông, tức là 90°. Vậy góc giữa hai đường thẳng BA và CD là: $$ D.~90^0. $$ Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABC). Hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A vì SA vuông góc với (ABC). 2. Tìm hình chiếu của điểm C lên đường thẳng SA: Vì tam giác ABC đều cạnh a, nên trung điểm của AB là D. Ta có AD = BD = $\frac{a}{2}$. Hình chiếu của C lên đường thẳng SA là điểm A. 3. Tính khoảng cách từ S đến C: - Tam giác SAC là tam giác vuông tại A, do đó ta có: $$ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} $$ Vì SA = a và AC = a (cạnh của tam giác đều ABC), ta có: $$ SC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $$ 4. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC): - Gọi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $\theta$. Ta có: $$ \sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ - Từ đó suy ra: $$ \theta = 45^\circ $$ Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $45^\circ$. Đáp án đúng là: $B.~45^0.$ Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') có giao tuyến là đường thẳng AC. 2. Xác định đường vuông góc hạ từ một điểm trên một mặt phẳng xuống giao tuyến: - Chọn điểm B thuộc mặt phẳng (ABCD). Hạ đường thẳng BD vuông góc với AC tại D. 3. Xác định đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng kia: - Chọn điểm A' thuộc mặt phẳng (ACC'A'). Hạ đường thẳng A'C vuông góc với AC tại C. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng vuông góc hạ này: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') chính là góc giữa hai đường thẳng BD và A'C. Trong hình lập phương, ta có: - Tam giác ABD là tam giác vuông cân tại D, do đó góc BAD = 45°. - Tam giác A'AC cũng là tam giác vuông cân tại C, do đó góc A'AC = 45°. Do đó, góc giữa hai đường thẳng BD và A'C chính là góc giữa hai đường thẳng vuông góc hạ từ hai mặt phẳng xuống giao tuyến AC, và góc này bằng 45°. Vậy góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là $45^\circ$. Đáp án đúng là: $A.~45^\circ$. Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SAD) đã cho là $\frac{6a}{7}$. Ta cần tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD). Trong hình chóp S.ABCD, vì đáy là hình bình hành nên các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của cả hai đường chéo. Do đó, O là trung điểm của AC và BD. Khi đó, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) sẽ bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SAD) vì AC là đường chéo của hình bình hành và O là trung điểm của AC. Do đó, khoảng cách từ C đến (SAD) cũng sẽ là $\frac{6a}{7}$. Vậy đáp án đúng là: $$ D.~\frac{6a}{7}. $$ Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể coi nó như một khối chóp với đáy là tam giác ABC và chiều cao hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC). Trước tiên, ta tính diện tích đáy S của tam giác ABC: - Vì AB và AC vuông góc với nhau, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Diện tích đáy S của tam giác ABC là: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 $$ Tiếp theo, ta tính chiều cao hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC). Vì AD vuông góc với cả AB và AC, nên AD chính là chiều cao của khối chóp này: $$ h = AD = 3a $$ Thể tích V của khối chóp (hay khối tứ diện) ABCD được tính bằng công thức: $$ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h $$ $$ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 3a = 2a^3 $$ Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là: $$ V = 2a^3 $$ Đáp án đúng là: C. $ V = 2a^3 $ Câu 8. Để tính xác suất hai viên bi được chọn cùng màu, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi: - Số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi là: $$ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 $$ 2. Tìm số cách chọn 2 viên bi cùng màu: - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh: $$ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 $$ - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ: $$ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 $$ - Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng: $$ C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1 $$ 3. Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu: $$ 6 + 3 + 1 = 10 $$ 4. Tính xác suất: - Xác suất để chọn 2 viên bi cùng màu là: $$ P(X) = \frac{\text{Số cách chọn 2 viên bi cùng màu}}{\text{Tổng số cách chọn 2 viên bi}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} $$ Vậy đáp án đúng là: $$ A.~P(X)=\frac{5}{18}. $$ Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng bi chẵn trong mỗi hộp: - Hộp I có các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Các số chẵn trong hộp I là: 2, 4, 6, 8. Số lượng bi chẵn trong hộp I là 4. - Hộp II có 10 viên bi, trong đó xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn là $\frac{3}{10}$. Do đó, số lượng bi chẵn trong hộp II là: $$ \text{Số lượng bi chẵn trong hộp II} = 10 \times \frac{3}{10} = 3 $$ 2. Tính xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn: - Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp I là: $$ P(\text{bi chẵn từ hộp I}) = \frac{4}{9} $$ - Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp II là: $$ P(\text{bi chẵn từ hộp II}) = \frac{3}{10} $$ 3. Tính xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn: - Vì hai sự kiện này độc lập, xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là: $$ P(\text{cả hai viên bi chẵn}) = P(\text{bi chẵn từ hộp I}) \times P(\text{bi chẵn từ hộp II}) $$ $$ P(\text{cả hai viên bi chẵn}) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} $$ Vậy, xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là: $$ \boxed{D.~P=\frac{2}{15}} $$