Giúp mình với! Câu 12. Cho hàm số $y=(x+2)^{-2}.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa y và y" không phụ thuộc vào x .,$A.~y^{\prime\prime}-4y=0.$ $B.~y^{\prime\prime}+2y=0.$ $C.~y^{\prime\prime}-6y^2=0.$ $D.~2y^{\prime\prime}-3y=0.$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d),ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Một chiếc hộp có 20 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số,ghi trên hai thẻ với nhau. Gọi A là biến cố "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ", B,là biến cố "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn". Khi đó:,a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A\cup B.$,$b)~P(A\cup B)=P(A)+P(B)$,$c)~P(A)

Question

Giúp mình với! Câu 12. Cho hàm số $y=(x+2)^{-2}.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa y và y" không phụ thuộc vào x .,$A.~y^{\prime\prime}-4y=0.$ $B.~y^{\prime\prime}+2y=0.$ $C.~y^{\prime\prime}-6y^2=0.$ $D.~2y^{\prime\prime}-3y=0.$,PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d),ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Một chiếc hộp có 20 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số,ghi trên hai thẻ với nhau. Gọi A là biến cố "Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ", B,là biến cố "Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn". Khi đó:,a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A\cup B.$,$b)~P(A\cup B)=P(A)+P(B)$,$c)~P(A)<P(B)$,d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là: $\frac{461}{722}.$,Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)=\sin2x.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$a)~y^\prime(0)=2.$ $b)~4y+y^{\prime\prime}=0.$,c) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $y^\prime=m$ có nghiệm.,$d)~yy^\prime+y^{\prime\prime}\cos2x=0.$,Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Tìm nghiệm phương trình $\ln2x+\ln(x-1)=\ln x^2.$,Câu 2. Một mô hình Kim tự tháp bằng kim loại là một hình chóp đều có chiều cao bằng 10 cm, đáy là hình,vuông cạnh 10 cm. Tính thể tích khối chóp mô hình kim tự tháp.( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).,Câu 3. Bạn An và Bình cùng nhau thi bắn cung. Xác suất bạn An bắn vào tâm là 0,7, xác suất bạn Bình bắn,được vào tâm là 0,45 . Tính xác suất trong một lần bắn nào đó, bạn An bắn được vào tâm còn bạn Bình,thì không?( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ tại điểm $A(2;3)$ có phương trình $y=ax+b$ Tính $a+b$,PHẦN IV. Câu tự luận. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.

Accepted Answer

Câu 12.
Để tìm hệ thức liên hệ giữa $ y $ và $ y'' $ không phụ thuộc vào $ x $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm $ y' $:
   $$
   y = (x + 2)^{-2}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lũy thừa:
   $$
   y' = -2(x + 2)^{-3} \cdot 1 = -2(x + 2)^{-3}
   $$

2. Tìm đạo hàm $ y'' $:
   $$
   y' = -2(x + 2)^{-3}
   $$
   Áp dụng lại công thức đạo hàm của hàm lũy thừa:
   $$
   y'' = -2 \cdot (-3)(x + 2)^{-4} \cdot 1 = 6(x + 2)^{-4}
   $$

3. Biểu diễn $ y $ và $ y'' $ theo $ x $:
   $$
   y = (x + 2)^{-2}
   $$
   $$
   y'' = 6(x + 2)^{-4}
   $$

4. Tìm hệ thức liên hệ giữa $ y $ và $ y'' $:
   Ta thấy rằng:
   $$
   y = (x + 2)^{-2}
   $$
   $$
   y^2 = [(x + 2)^{-2}]^2 = (x + 2)^{-4}
   $$
   Do đó:
   $$
   y'' = 6(x + 2)^{-4} = 6y^2
   $$

5. Viết hệ thức liên hệ:
   $$
   y'' - 6y^2 = 0
   $$

Vậy hệ thức liên hệ giữa $ y $ và $ y'' $ không phụ thuộc vào $ x $ là:
$$
y'' - 6y^2 = 0
$$

Đáp án đúng là: $ C.~y^{\prime\prime}-6y^2=0 $.

Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu và xác định xem chúng đúng hay sai.

a) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là $A \cup B$.

- Biến cố $A$: Rút được một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ.
- Biến cố $B$: Rút được hai thẻ đều đánh số chẵn.

Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. Do đó, biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" bao gồm cả trường hợp rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ (biến cố $A$) và trường hợp rút được hai thẻ đều chẵn (biến cố $B$). Vậy phát biểu này là đúng.

b) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Theo công thức xác suất của biến cố tổng, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Vì biến cố $A$ và $B$ là hai biến cố không giao nhau (không thể cùng xảy ra), nên $P(A \cap B) = 0$. Do đó, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Phát biểu này là đúng.

c) $P(A) < P(B)$

- Số thẻ chẵn là 10 (từ 2, 4, ..., 20).
- Số thẻ lẻ là 10 (từ 1, 3, ..., 19).

Xác suất của biến cố $A$:
$$ P(A) = \frac{\text{số cách chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ}}{\text{số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ}} = \frac{10 \times 10}{\binom{20}{2}} = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} $$

Xác suất của biến cố $B$:
$$ P(B) = \frac{\text{số cách chọn 2 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn}}{\text{số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ}} = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} $$

So sánh:
$$ \frac{10}{19} > \frac{9}{38} $$
Do đó, $P(A) > P(B)$. Phát biểu này là sai.

d) Xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn là $\frac{461}{722}$.

Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số lẻ" là khi cả hai thẻ đều là số lẻ. Số cách chọn 2 thẻ lẻ từ 10 thẻ lẻ là:
$$ \binom{10}{2} = 45 $$

Số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ là:
$$ \binom{20}{2} = 190 $$

Xác suất của biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số lẻ":
$$ P(\text{lẻ}) = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} $$

Xác suất của biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn":
$$ P(\text{chẵn}) = 1 - P(\text{lẻ}) = 1 - \frac{9}{38} = \frac{29}{38} $$

Phát biểu này là sai vì $\frac{29}{38} \neq \frac{461}{722}$.

Kết luận:
- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Sai

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên tính chất và đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Hàm số $y = \sin 2x$, ta có:
$$ y' = \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x $$

Bước 2: Kiểm tra từng mệnh đề

Mệnh đề a) $y'(0) = 2$
- Thay $x = 0$ vào đạo hàm $y'$:
$$ y'(0) = 2 \cos (2 \cdot 0) = 2 \cos 0 = 2 \cdot 1 = 2 $$
Vậy mệnh đề a) là đúng.

Mệnh đề b) $4y + y'' = 0$
- Tính đạo hàm thứ hai của hàm số:
$$ y'' = \frac{d}{dx}(2 \cos 2x) = -4 \sin 2x $$
- Thay vào biểu thức $4y + y''$:
$$ 4y + y'' = 4 \sin 2x + (-4 \sin 2x) = 0 $$
Vậy mệnh đề b) là đúng.

Mệnh đề c) Có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình $y' = m$ có nghiệm
- Phương trình $y' = m$ trở thành:
$$ 2 \cos 2x = m $$
- Biến đổi phương trình:
$$ \cos 2x = \frac{m}{2} $$
- Để phương trình $\cos 2x = \frac{m}{2}$ có nghiệm, $\frac{m}{2}$ phải nằm trong khoảng [-1, 1]:
$$ -1 \leq \frac{m}{2} \leq 1 $$
$$ -2 \leq m \leq 2 $$
- Các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng này là: $-2, -1, 0, 1, 2$. Như vậy có 5 giá trị nguyên của $m$.
Vậy mệnh đề c) là sai.

Mệnh đề d) $yy' + y'' \cos 2x = 0$
- Thay các giá trị đã biết vào biểu thức:
$$ yy' + y'' \cos 2x = (\sin 2x)(2 \cos 2x) + (-4 \sin 2x) \cos 2x $$
$$ = 2 \sin 2x \cos 2x - 4 \sin 2x \cos 2x $$
$$ = -2 \sin 2x \cos 2x $$
$$ = -\sin 4x \neq 0 $$
Vậy mệnh đề d) là sai.

Kết luận:
- Mệnh đề a) là đúng.
- Mệnh đề b) là đúng.
- Mệnh đề c) là sai.
- Mệnh đề d) là sai.

Câu 1.
Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x - 1 > 0$, suy ra $x > 1$.

Phương trình đã cho tương đương với:
$$
\ln(2x) + \ln(x - 1) = \ln(x^2)
$$

Áp dụng tính chất của lôgarit, ta có:
$$
\ln[(2x)(x - 1)] = \ln(x^2)
$$

Do đó:
$$
2x(x - 1) = x^2
$$

Rút gọn phương trình:
$$
2x^2 - 2x = x^2
$$
$$
2x^2 - x^2 - 2x = 0
$$
$$
x^2 - 2x = 0
$$
$$
x(x - 2) = 0
$$

Từ đây, ta tìm được các nghiệm:
$$
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
$$

Kiểm tra lại điều kiện xác định $x > 1$:
- $x = 0$ không thỏa mãn điều kiện $x > 1$.
- $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x > 1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$.

Câu 2.
Để tính thể tích của khối chóp mô hình kim tự tháp, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp đều:

$$ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h $$

Trong đó:
- $ S_{đáy} $ là diện tích đáy của khối chóp.
- $ h $ là chiều cao của khối chóp.

Bước 1: Tính diện tích đáy của khối chóp.
Đáy của khối chóp là hình vuông có cạnh bằng 10 cm. Diện tích đáy $ S_{đáy} $ được tính như sau:

$$ S_{đáy} = cạnh \times cạnh = 10 \times 10 = 100 \text{ cm}^2 $$

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức tính thể tích.

$$ V = \frac{1}{3} \times 100 \times 10 = \frac{1000}{3} \approx 333.33 \text{ cm}^3 $$

Bước 3: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

$$ V \approx 333 \text{ cm}^3 $$

Vậy thể tích của khối chóp mô hình kim tự tháp là 333 cm³.

Câu 3.
Xác suất bạn Bình không bắn được vào tâm là:
$1 - 0,45 = 0,55$
Xác suất trong một lần bắn nào đó, bạn An bắn được vào tâm còn bạn Bình thì không là:
$0,7 \times 0,55 = 0,385$
Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là 0,39.
Đáp số: 0,39

Câu 4.
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ tại điểm $A(2;3)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$.
$$
y' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}
$$

Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 2$.
$$
y'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2
$$
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A(2;3)$ là $a = -2$.

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $A(2;3)$.
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$
y = y'(2)(x - 2) + 3
$$
Thay $y'(2) = -2$ vào phương trình trên:
$$
y = -2(x - 2) + 3 = -2x + 4 + 3 = -2x + 7
$$
Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = -2x + 7$. Từ đó, ta có $a = -2$ và $b = 7$.

Bước 4: Tính $a + b$.
$$
a + b = -2 + 7 = 5
$$

Đáp số: $a + b = 5$.