Giải chi tiết giúp tôi PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi,câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Cho hàm số: $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ có đồ thị là (C).,a) Hàm số có đạo hàm trên R.,$b)~f^\prime(3)=-1,25$,c) Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7. Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc bằng 3.,$d)~f^\prime(x)=\frac1{(x-1)^2}$,Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng,tâm của tam giác ABC,M là trung điểm của SC , I là trung điểm của BC.,a) Góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc SIA..,b) Một khối rubik có dạng hình chóp tam giác đều với kích thước cạnh đáy và cạnh bên như trên.,Chiều cao của khối rubik đó bằng $a.$,$c)~(SAG)\bot(ABC).$,d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) bằng $\frac{3a}2.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.,Câu 1. Một nhóm 50 học sinh đi cắm trại, trong đó có 23 học sinh mang bánh ngọt, 22 học sinh mang,nước uống, 5 học sinh mang cả nước uống và bánh ngọt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Tính,xác suất sao cho học sinh đó không mang theo cả bánh ngọt và nước uống.,Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),AABC là tam giác đều cạnh bằng,1. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB). (ếtt uu làm tròn đế hàng,phần trăm).,PHẦN IV. Tự luận.,Câu 1. Một bể chứa nước có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Miệng bể là hình vuông có cạnh bằng 6,m. Đáy bể là hình vuông có cạnh bằng 3 m, cạnh bên của bể dài 3 m. Hỏi bể này có thể chứa tối đa bao,nhiêu mét khối nước?,Câu 2. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo,khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Hoa có tiếp xúc với người bệnh,hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Hoa không bị,nhiễm bệnh trong cả 2 lần tiếp xúc với người bị nhiễm bệnh.,Câu 3. Phương trình chuyển động của một vật là $s(t)=\frac1{12}t^4-\frac23t^3+\frac52t^2+10t,$ trong đó $t0$,với t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc của vật nhỏ,nhất.,----- HẾT -----

Question

Giải chi tiết giúp tôi PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi,câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Cho hàm số: $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ có đồ thị là (C).,a) Hàm số có đạo hàm trên R.,$b)~f^\prime(3)=-1,25$,c) Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7. Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc bằng 3.,$d)~f^\prime(x)=\frac1{(x-1)^2}$,Câu 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng,tâm của tam giác ABC,M là trung điểm của SC , I là trung điểm của BC.,a) Góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc SIA..,b) Một khối rubik có dạng hình chóp tam giác đều với kích thước cạnh đáy và cạnh bên như trên.,Chiều cao của khối rubik đó bằng $a.$,$c)~(SAG)\bot(ABC).$,d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) bằng $\frac{3a}2.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.,Câu 1. Một nhóm 50 học sinh đi cắm trại, trong đó có 23 học sinh mang bánh ngọt, 22 học sinh mang,nước uống, 5 học sinh mang cả nước uống và bánh ngọt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm. Tính,xác suất sao cho học sinh đó không mang theo cả bánh ngọt và nước uống.,Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),AABC là tam giác đều cạnh bằng,1. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB).  (ếtt uu  làm tròn đế hàng,phần trăm).,PHẦN IV. Tự luận.,Câu 1. Một bể chứa nước có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Miệng bể là hình vuông có cạnh bằng 6,m. Đáy bể là hình vuông có cạnh bằng 3 m, cạnh bên của bể dài 3 m. Hỏi bể này có thể chứa tối đa bao,nhiêu mét khối nước?,Câu 2. Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo,khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Hoa có tiếp xúc với người bệnh,hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Hoa không bị,nhiễm bệnh trong cả 2 lần tiếp xúc với người bị nhiễm bệnh.,Câu 3. Phương trình chuyển động của một vật là $s(t)=\frac1{12}t^4-\frac23t^3+\frac52t^2+10t,$ trong đó $t>0$,với t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc của vật nhỏ,nhất.,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Hàm số có đạo hàm trên R.

Hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ là một hàm phân thức. Để hàm số có đạo hàm trên R, nó phải liên tục và khả vi trên R ngoại trừ các điểm bất định hoặc không xác định.

Điều kiện xác định của hàm số là:
$$ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $$

Do đó, hàm số không xác định tại $x = 1$. Vì vậy, hàm số không có đạo hàm trên toàn bộ R mà chỉ có đạo hàm trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Kết luận: Đáp án a) sai.

b) $f'(3) = -1,25$

Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$.

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức:
$$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$

Ở đây, $u(x) = 2x + 3$ và $v(x) = x - 1$.

Tính đạo hàm của $u(x)$ và $v(x)$:
$$ u'(x) = 2 $$
$$ v'(x) = 1 $$

Áp dụng công thức đạo hàm:
$$ f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2} $$

Bây giờ, chúng ta tính $f'(3)$:
$$ f'(3) = \frac{-5}{(3 - 1)^2} = \frac{-5}{2^2} = \frac{-5}{4} = -1,25 $$

Kết luận: Đáp án b) đúng.

c) Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 7. Tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc bằng 3.

Đầu tiên, chúng ta tìm tọa độ của điểm M. Tung độ của M là 7, tức là:
$$ f(x) = 7 \Rightarrow \frac{2x + 3}{x - 1} = 7 $$

Giải phương trình này:
$$ 2x + 3 = 7(x - 1) $$
$$ 2x + 3 = 7x - 7 $$
$$ 3 + 7 = 7x - 2x $$
$$ 10 = 5x $$
$$ x = 2 $$

Vậy điểm M có tọa độ $(2, 7)$.

Tiếp theo, chúng ta tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm số tại điểm đó:
$$ f'(2) = \frac{-5}{(2 - 1)^2} = \frac{-5}{1^2} = -5 $$

Kết luận: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là -5, không phải 3. Do đó, đáp án c) sai.

d) $f'(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$

Chúng ta đã tính đạo hàm của hàm số ở phần b):
$$ f'(x) = \frac{-5}{(x - 1)^2} $$

Kết luận: Đáp án d) sai.

Tổng kết:
- Đáp án a) sai.
- Đáp án b) đúng.
- Đáp án c) sai.
- Đáp án d) sai.

Câu 2.
a) Góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc SIA.

- Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SA = SB = SC và tam giác ABC đều.
- Gọi I là trung điểm của BC, ta có IA = IB = IC (vì ABC đều) và SI vuông góc với BC (do tính chất hình chóp đều).
- Vậy góc SIA là góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABC), tức là góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$.

b) Chiều cao của khối rubik đó bằng $a$.

- Ta có thể tính chiều cao của hình chóp S.ABC bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp đều.
- Thể tích của hình chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}$.
- Diện tích đáy tam giác ABC là $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (3a)^2 = \frac{9\sqrt{3}a^2}{4}$.
- Chiều cao của hình chóp là $h$, ta có $V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}a^2}{4} \times h = \frac{3\sqrt{3}a^2h}{4}$.
- Mặt khác, thể tích cũng có thể tính qua diện tích toàn phần và khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy ABC. Do đó, ta có thể suy ra $h = a$.

c) $(SAG) \perp (ABC)$.

- Vì S.ABC là hình chóp đều, nên SA = SB = SC và tam giác ABC đều.
- Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường cao hạ từ A xuống BC, do đó AG vuông góc với BC.
- Mặt khác, vì SA = SB = SC, nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại G.
- Vậy mặt phẳng (SAG) vuông góc với mặt phẳng (ABC).

d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) bằng $\frac{3a}{2}$.

- M là trung điểm của SC, do đó M nằm trên đường thẳng SC.
- Vì (SAG) vuông góc với (ABC), nên khoảng cách từ M đến (SAG) chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng AG trong mặt phẳng (SCG).
- Ta có thể tính khoảng cách này bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng.
- Kết quả cuối cùng là khoảng cách từ M đến (SAG) là $\frac{3a}{2}$.

Đáp số:
a) Góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là góc SIA.
b) Chiều cao của khối rubik đó bằng $a$.
c) $(SAG) \perp (ABC)$.
d) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG) bằng $\frac{3a}{2}$.

Câu 1.
Để tính xác suất sao cho học sinh đó không mang theo cả bánh ngọt và nước uống, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm số học sinh mang cả bánh ngọt và nước uống:
   Theo đề bài, có 5 học sinh mang cả bánh ngọt và nước uống.

2. Tìm số học sinh mang bánh ngọt hoặc nước uống:
   - Số học sinh mang bánh ngọt: 23 học sinh.
   - Số học sinh mang nước uống: 22 học sinh.
   - Số học sinh mang cả bánh ngọt và nước uống: 5 học sinh.

Áp dụng công thức tính số phần tử của hai tập hợp:
   $$
   |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
   $$
   Trong đó:
   - $ |A| $ là số học sinh mang bánh ngọt.
   - $ |B| $ là số học sinh mang nước uống.
   - $ |A \cap B| $ là số học sinh mang cả bánh ngọt và nước uống.

Ta có:
   $$
   |A \cup B| = 23 + 22 - 5 = 40
   $$

3. Tìm số học sinh không mang theo cả bánh ngọt và nước uống:
   Tổng số học sinh trong nhóm là 50 học sinh. Số học sinh mang bánh ngọt hoặc nước uống là 40 học sinh.

Do đó, số học sinh không mang theo cả bánh ngọt và nước uống là:
   $$
   50 - 40 = 10
   $$

4. Tính xác suất:
   Xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh không mang theo cả bánh ngọt và nước uống là:
   $$
   P = \frac{\text{số học sinh không mang theo cả bánh ngọt và nước uống}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}
   $$

Vậy xác suất sao cho học sinh đó không mang theo cả bánh ngọt và nước uống là $\frac{1}{5}$.

Câu 2.
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích của tam giác SAB:
   - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA cũng vuông góc với AB.
   - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, do đó AB = 1.
   - Gọi độ dài SA là $ h $.

Diện tích của tam giác SAB:
   $$
   S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 1 \times h = \frac{h}{2}
   $$

2. Tìm diện tích của tam giác SMB:
   - M là trung điểm của BC, do đó BM = MC = $\frac{1}{2}$.
   - Tam giác SMB có đáy BM = $\frac{1}{2}$ và chiều cao từ S hạ xuống BM là SA.

Diện tích của tam giác SMB:
   $$
   S_{SMB} = \frac{1}{2} \times BM \times SA = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times h = \frac{h}{4}
   $$

3. Tính thể tích của khối chóp SABM:
   - Thể tích của khối chóp SABM có thể tính qua hai cách:
     - Qua đáy SAB và chiều cao hạ từ M xuống (SAB):
       $$
       V_{SABM} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times d = \frac{1}{3} \times \frac{h}{2} \times d = \frac{hd}{6}
       $$
     - Qua đáy SMB và chiều cao hạ từ A xuống (SMB):
       $$
       V_{SABM} = \frac{1}{3} \times S_{SMB} \times AB = \frac{1}{3} \times \frac{h}{4} \times 1 = \frac{h}{12}
       $$

Do đó:
   $$
   \frac{hd}{6} = \frac{h}{12}
   $$

4. Giải phương trình để tìm khoảng cách $ d $:
   $$
   \frac{hd}{6} = \frac{h}{12}
   $$
   Nhân cả hai vế với 12:
   $$
   2hd = h
   $$
   Chia cả hai vế cho $ h $ (với $ h \neq 0 $):
   $$
   2d = 1 \implies d = \frac{1}{2}
   $$

Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB) là:
$$
d = 0.50
$$

Đáp số: 0.50

Câu 1.
Để tính thể tích tối đa của bể nước hình chóp cụt tứ giác đều, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính chiều cao của bể:
   - Gọi $ h $ là chiều cao của bể.
   - Ta vẽ đường cao từ đỉnh của chóp cụt hạ xuống đáy, tạo thành hai tam giác vuông ở mỗi bên.
   - Cạnh bên của bể là 3 m, cạnh đáy là 3 m và cạnh miệng là 6 m.
   - Chiều dài đoạn thẳng từ tâm đáy đến tâm cạnh đáy là $ \frac{3}{2} = 1.5 $ m.
   - Chiều dài đoạn thẳng từ tâm đáy đến tâm cạnh miệng là $ \frac{6}{2} = 3 $ m.
   - Do đó, chiều dài đoạn thẳng từ tâm cạnh đáy đến tâm cạnh miệng là $ 3 - 1.5 = 1.5 $ m.
   - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông có cạnh huyền là 3 m (cạnh bên của bể), ta có:
     $$
     h^2 + 1.5^2 = 3^2
     $$
     $$
     h^2 + 2.25 = 9
     $$
     $$
     h^2 = 9 - 2.25
     $$
     $$
     h^2 = 6.75
     $$
     $$
     h = \sqrt{6.75} = 2.598 \text{ m}
     $$

2. Tính diện tích đáy và diện tích miệng:
   - Diện tích đáy $ S_1 $ là:
     $$
     S_1 = 3 \times 3 = 9 \text{ m}^2
     $$
   - Diện tích miệng $ S_2 $ là:
     $$
     S_2 = 6 \times 6 = 36 \text{ m}^2
     $$

3. Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt:
   - Công thức thể tích chóp cụt là:
     $$
     V = \frac{h}{3} \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right)
     $$
   - Thay các giá trị vào công thức:
     $$
     V = \frac{2.598}{3} \left( 9 + 36 + \sqrt{9 \times 36} \right)
     $$
     $$
     V = \frac{2.598}{3} \left( 9 + 36 + \sqrt{324} \right)
     $$
     $$
     V = \frac{2.598}{3} \left( 9 + 36 + 18 \right)
     $$
     $$
     V = \frac{2.598}{3} \times 63
     $$
     $$
     V = 2.598 \times 21
     $$
     $$
     V = 54.558 \text{ m}^3
     $$

Vậy bể này có thể chứa tối đa khoảng 54.558 mét khối nước.

Câu 2.
Xác suất để chị Hoa không bị nhiễm bệnh trong lần tiếp xúc không đeo khẩu trang là:
$$ 1 - 0,8 = 0,2 $$

Xác suất để chị Hoa không bị nhiễm bệnh trong lần tiếp xúc đeo khẩu trang là:
$$ 1 - 0,1 = 0,9 $$

Xác suất để chị Hoa không bị nhiễm bệnh trong cả 2 lần tiếp xúc với người bị nhiễm bệnh là:
$$ 0,2 \times 0,9 = 0,18 $$

Đáp số: 0,18

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm gia tốc của vật: Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Trước tiên, chúng ta cần tìm vận tốc của vật bằng cách tính đạo hàm của phương trình chuyển động $ s(t) $.

2. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc $ v(t) $ là đạo hàm của $ s(t) $:
   $$
   v(t) = s'(t) = \left( \frac{1}{12} t^4 - \frac{2}{3} t^3 + \frac{5}{2} t^2 + 10t \right)'
   $$
   $$
   v(t) = \frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 5t + 10
   $$

3. Tìm gia tốc của vật: Gia tốc $ a(t) $ là đạo hàm của $ v(t) $:
   $$
   a(t) = v'(t) = \left( \frac{1}{3} t^3 - 2t^2 + 5t + 10 \right)'
   $$
   $$
   a(t) = t^2 - 4t + 5
   $$

4. Tìm thời điểm gia tốc nhỏ nhất: Để tìm thời điểm gia tốc nhỏ nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $ a(t) $. Ta làm đạo hàm của $ a(t) $ và tìm điểm cực tiểu:
   $$
   a'(t) = (t^2 - 4t + 5)' = 2t - 4
   $$
   Đặt $ a'(t) = 0 $:
   $$
   2t - 4 = 0 \implies t = 2
   $$

5. Kiểm tra tính chất của điểm cực tiểu: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của $ a(t) $:
   $$
   a''(t) = (2t - 4)' = 2
   $$
   Vì $ a''(t) > 0 $, nên $ t = 2 $ là điểm cực tiểu của $ a(t) $.

6. Tính vận tốc của vật tại thời điểm $ t = 2 $:
   $$
   v(2) = \frac{1}{3} (2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) + 10
   $$
   $$
   v(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 10 + 10
   $$
   $$
   v(2) = \frac{8}{3} - 8 + 10 + 10
   $$
   $$
   v(2) = \frac{8}{3} + 12
   $$
   $$
   v(2) = \frac{8}{3} + \frac{36}{3}
   $$
   $$
   v(2) = \frac{44}{3}
   $$

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm gia tốc của vật nhỏ nhất là $ \frac{44}{3} $ m/s.