giải chi tiết ạ

Câu 3: a) Sai vì thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi $V_1=\frac{\pi}{4}\int^0_{-4}(4-\frac{x^2}{4})dx.$ b) Sai vì thể tích phần trong của mảnh trên là $V_1=\frac{\pi}{4}\int^0_{-4}(4-\frac{x^2}{4})dx = \frac{16\pi}{3}$. Thể tích phần trong của mảnh dưới là $V_2=\frac{\pi}{4}\int^0_{-2}(4-x^2)dx = \frac{8\pi}{3}$. Vậy thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới. c) Đúng vì thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là $V = V_1 + V_2 = \frac{16\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} = 8\pi$. d) Sai vì diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là $S = \pi(4+2) = 6\pi$. Câu 4: Để kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính cần thiết dựa trên dữ liệu đã cho. a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng Ta tính trung bình cộng của các nhóm theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Bảng tính toán: | Nhóm | Tần số \( f_i \) | Giá trị trung tâm \( x_i \) | \( f_i x_i \) | |------|------------------|---------------------------|--------------| | [6,22;6,46) | 3 | 6,34 | 19,02 | | [6,46;6,70) | 7 | 6,58 | 46,06 | | [6,70;6,94) | 5 | 6,82 | 34,10 | | [6,94;7,18) | 20 | 7,06 | 141,20 | | [7,18;7,42) | 5 | 7,30 | 36,50 | Tổng tần số: \[ \sum_{i=1}^{k} f_i = 3 + 7 + 5 + 20 + 5 = 40 \] Tổng \( f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{k} f_i x_i = 19,02 + 46,06 + 34,10 + 141,20 + 36,50 = 276,88 \] Số trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{276,88}{40} = 6,92 \] Kết luận: Khẳng định a) là đúng. b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng Ta tính phương sai \( s^2 \) trước: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Bảng tính toán: | Nhóm | Tần số \( f_i \) | Giá trị trung tâm \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) | |------|------------------|---------------------------|--------------------|------------------------|-----------------------------| | [6,22;6,46) | 3 | 6,34 | -0,58 | 0,3364 | 1,0092 | | [6,46;6,70) | 7 | 6,58 | -0,34 | 0,1156 | 0,8092 | | [6,70;6,94) | 5 | 6,82 | -0,10 | 0,0100 | 0,0500 | | [6,94;7,18) | 20 | 7,06 | 0,14 | 0,0196 | 0,3920 | | [7,18;7,42) | 5 | 7,30 | 0,38 | 0,1444 | 0,7220 | Tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 1,0092 + 0,8092 + 0,0500 + 0,3920 + 0,7220 = 2,9824 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{2,9824}{40} = 0,07456 \] Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{0,07456} \approx 0,273 \] Kết luận: Khẳng định b) là sai vì độ lệch chuẩn là 0,273, không phải 0,26. c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy Ta tính trung bình cộng của các nhóm theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Bảng tính toán: | Nhóm | Tần số \( f_i \) | Giá trị trung tâm \( x_i \) | \( f_i x_i \) | |------|------------------|---------------------------|--------------| | [6,22;6,46) | 2 | 6,34 | 12,68 | | [6,46;6,70) | 5 | 6,58 | 32,90 | | [6,70;6,94) | 8 | 6,82 | 54,56 | | [6,94;7,18) | 19 | 7,06 | 134,14 | | [7,18;7,42) | 6 | 7,30 | 43,80 | Tổng tần số: \[ \sum_{i=1}^{k} f_i = 2 + 5 + 8 + 19 + 6 = 40 \] Tổng \( f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{k} f_i x_i = 12,68 + 32,90 + 54,56 + 134,14 + 43,80 = 278,08 \] Số trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{278,08}{40} = 6,952 \] Tiếp theo, ta tính phương sai \( s^2 \): \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Bảng tính toán: | Nhóm | Tần số \( f_i \) | Giá trị trung tâm \( x_i \) | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) | |------|------------------|---------------------------|--------------------|------------------------|-----------------------------| | [6,22;6,46) | 2 | 6,34 | -0,612 | 0,374544 | 0,749088 | | [6,46;6,70) | 5 | 6,58 | -0,372 | 0,138384 | 0,69192 | | [6,70;6,94) | 8 | 6,82 | -0,132 | 0,017424 | 0,139392 | | [6,94;7,18) | 19 | 7,06 | 0,108 | 0,011664 | 0,221616 | | [7,18;7,42) | 6 | 7,30 | 0,348 | 0,121104 | 0,726624 | Tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 0,749088 + 0,69192 + 0,139392 + 0,221616 + 0,726624 = 2,52864 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{2,52864}{40} = 0,063216 \] Kết luận: Khẳng định c) là sai vì phương sai là 0,063216, không phải 0,16. d) Kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Huy So sánh độ lệch chuẩn của hai vận động viên: - Độ lệch chuẩn của Dũng: 0,273 - Độ lệch chuẩn của Huy: \( \sqrt{0,063216} \approx 0,251 \) Vì độ lệch chuẩn của Huy nhỏ hơn độ lệch chuẩn của Dũng, nên kết quả nhảy xa của Huy đồng đều hơn. Kết luận: Khẳng định d) là sai. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Độ dài các cánh quạt: \( OA = OB = OC = 31 \) m. - Độ cao của điểm M so với mặt đất: \( OM = 30 \) m. - Góc giữa các cánh quạt: \( \frac{2\pi}{3} \). 2. Xác định vị trí của điểm M trên cánh quạt OA: - Gọi \( \alpha \) là số đo góc \( (OA, OM) \). 3. Áp dụng công thức tính sin trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông OMA, ta có: \[ \sin(\alpha) = \frac{OM}{OA} = \frac{30}{31} \] 4. Tính giá trị của \( \sin(2\alpha) \): - Sử dụng công thức nhân đôi: \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \] - Ta cần tính \( \cos(\alpha) \). Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông OMA: \[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{30}{31}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{900}{961}} = \sqrt{\frac{61}{961}} = \frac{\sqrt{61}}{31} \] - Thay vào công thức nhân đôi: \[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \frac{30}{31} \cdot \frac{\sqrt{61}}{31} = \frac{60 \sqrt{61}}{961} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - Tính giá trị số của \( \frac{60 \sqrt{61}}{961} \): \[ \frac{60 \sqrt{61}}{961} \approx \frac{60 \times 7.81}{961} \approx \frac{468.6}{961} \approx 0.4876 \] - Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ \sin(2\alpha) \approx 0.49 \] Vậy giá trị của \( \sin(2\alpha) \) là \( 0.49 \).