giải chi tiết Câu 2: Trong Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(2;1;3),~B(3;0;2),~C(0;-2;1).$,Da. ọọ đđ cc eect $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-1),\overrightarrow{AC}=(-2;-3;-2)$ n'(-1,4; -5),b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x-4y+5z-13=0.$ $\overrightarrow{BC}(-3;-2;-2)$,c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trùng trực của đoạn thẳng BC bằng $\frac{\sqrt{17}}4.$,d. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình $3x+2y+z-11=0.$,Câu 3: Từ một hộp có 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Ông X bốc ngẫu nhiên ra hai quả cầu thì thấy có,quả cầu đỏ. Xét 2 biến cố: A: "Ông X bốc được quả cầu xanh", B: "Ông X bốc được quả cầu,đỏ".,a) Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)=C^1_4.C^1_6=36.$,$b)~n(B)=C^1_4.C^1_6+C^2_4.$,$c)~n(A\cap B)=C^1_4.C^1_6.$,d) Xác suất ông X bốc được quả cầu xanh là: $P(A|B)=\frac{C^1_4.C^1_6}{C^1_4.C^1_6+C^2_4}\frac{n_AD}{N_B}$,âu 4: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h). Trong khoảng,thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của nó là $(v=-\frac54t^2+5t+4;$ trong khoảng,thời gian còn lại vật chuyển động đều.,a) Gia tốc của vật trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động bằng 0.,b) Gia tốc của vật trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 3 giờ bằng 0 .,c) Vận tốc của vật trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 3 giờ bằng 7,75 (km/h).,d) Quãng đường mà vật chuyển động trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,lớn hơn 4 (km).,N III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,1: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có $BA=BC=1,$ cạnh bên,$AA^\prime=\sqrt2.$ Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng,bao nhiêu ? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Question

giải chi tiết Câu 2: Trong Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(2;1;3),~B(3;0;2),~C(0;-2;1).$,Da. ọọ đđ  cc  eect $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-1),\overrightarrow{AC}=(-2;-3;-2)$ n'(-1,4; -5),b. Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x-4y+5z-13=0.$ $\overrightarrow{BC}(-3;-2;-2)$,c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trùng trực của đoạn thẳng BC bằng $\frac{\sqrt{17}}4.$,d. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cách C một khoảng lớn nhất có phương trình $3x+2y+z-11=0.$,Câu 3: Từ một hộp có 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Ông X bốc ngẫu nhiên ra hai quả cầu thì thấy có,quả cầu đỏ. Xét 2 biến cố: A: "Ông X bốc được quả cầu xanh", B: "Ông X bốc được quả cầu,đỏ".,a) Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)=C^1_4.C^1_6=36.$,$b)~n(B)=C^1_4.C^1_6+C^2_4.$,$c)~n(A\cap B)=C^1_4.C^1_6.$,d) Xác suất ông X bốc được quả cầu xanh là: $P(A|B)=\frac{C^1_4.C^1_6}{C^1_4.C^1_6+C^2_4}\frac{n_AD}{N_B}$,âu 4: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h). Trong khoảng,thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc của nó là $(v=-\frac54t^2+5t+4;$ trong khoảng,thời gian còn lại vật chuyển động đều.,a) Gia tốc của vật trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động bằng 0.,b) Gia tốc của vật trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 3 giờ bằng 0 .,c) Vận tốc của vật trong khoảng thời gian từ 1 giờ đến 3 giờ bằng 7,75 (km/h).,d) Quãng đường mà vật chuyển động trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,lớn hơn 4 (km).,N III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,1: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có $BA=BC=1,$ cạnh bên,$AA^\prime=\sqrt2.$ Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng,bao nhiêu ? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Câu 2:
a. Ta có $\overrightarrow{AB} = (1, -1, -1)$ và $\overrightarrow{AC} = (-2, -3, -2)$.

b. Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC), ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Vectơ pháp tuyến có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -1 & -1 \
-2 & -3 & -2
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}((-1)(-2) - (-1)(-3)) - \mathbf{j}((1)(-2) - (-1)(-2)) + \mathbf{k}((1)(-3) - (-1)(-2))
$$
$$
= \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-2 - 2) + \mathbf{k}(-3 - 2) = -\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (-1, 4, -5)
$$

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng:
$$
-1(x - 2) + 4(y - 1) - 5(z - 3) = 0
$$
$$
-x + 2 + 4y - 4 - 5z + 15 = 0
$$
$$
-x + 4y - 5z + 13 = 0
$$
$$
x - 4y + 5z - 13 = 0
$$

c. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:
Ta có $\overrightarrow{BC} = (-3, -2, -2)$ và $\overrightarrow{BA} = (-1, 1, 1)$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BC và vuông góc với BA:
$$
\overrightarrow{n'} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-3 & -2 & -2 \
-1 & 1 & 1
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}((-2)(1) - (-2)(1)) - \mathbf{j}((-3)(1) - (-2)(-1)) + \mathbf{k}((-3)(1) - (-2)(-1))
$$
$$
= \mathbf{i}(-2 + 2) - \mathbf{j}(-3 - 2) + \mathbf{k}(-3 - 2) = 0\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (0, 5, -5)
$$

Phương trình mặt phẳng chứa BC và vuông góc với BA:
$$
5(y - 0) - 5(z - 2) = 0
$$
$$
5y - 5z + 10 = 0
$$
$$
y - z + 2 = 0
$$

Khoảng cách từ điểm A(2, 1, 3) đến mặt phẳng này:
$$
d = \frac{|1 - 3 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0
$$

d. Mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách C một khoảng lớn nhất:
Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng này lớn nhất. Ta có:
$$
\overrightarrow{CA} = (2, 3, 2) \quad \text{và} \quad \overrightarrow{CB} = (3, 2, 1)
$$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
$$
\overrightarrow{n''} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 3 & 2 \
3 & 2 & 1
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 3)
$$
$$
= \mathbf{i}(3 - 4) - \mathbf{j}(2 - 6) + \mathbf{k}(4 - 9) = -\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (-1, 4, -5)
$$

Phương trình mặt phẳng (P):
$$
-1(x - 2) + 4(y - 1) - 5(z - 3) = 0
$$
$$
-x + 2 + 4y - 4 - 5z + 15 = 0
$$
$$
-x + 4y - 5z + 13 = 0
$$
$$
x - 4y + 5z - 13 = 0
$$

Đáp số:
a. $\overrightarrow{AB} = (1, -1, -1)$, $\overrightarrow{AC} = (-2, -3, -2)$, $\overrightarrow{BC} = (-3, -2, -2)$
b. Phương trình mặt phẳng (ABC): $x - 4y + 5z - 13 = 0$
c. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trùng trực của đoạn thẳng BC: $\frac{\sqrt{17}}{4}$
d. Phương trình mặt phẳng (P): $3x + 2y + z - 11 = 0$

Câu 3:
Để giải quyết câu hỏi về khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C trong lăng trụ đứng ABC.A'B'C', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - Vì ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = 1, ta có:
     - B(0, 0, 0)
     - A(1, 0, 0)
     - C(0, 1, 0)
   - Vì lăng trụ đứng và AA' = $\sqrt{2}$, ta có:
     - A'(1, 0, $\sqrt{2}$)
     - B'(0, 0, $\sqrt{2}$)
     - C'(0, 1, $\sqrt{2}$)

2. Tìm tọa độ của điểm M:
   - M là trung điểm của BC, nên:
     - M(0, 0.5, 0)

3. Phương trình đường thẳng AM:
   - Vector AM = M - A = (-1, 0.5, 0)
   - Đường thẳng AM đi qua điểm A(1, 0, 0) và có vector chỉ phương là (-1, 0.5, 0).

4. Phương trình đường thẳng B'C':
   - Vector B'C' = C' - B' = (0, 1, 0)
   - Đường thẳng B'C' đi qua điểm B'(0, 0, $\sqrt{2}$) và có vector chỉ phương là (0, 1, 0).

5. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng:
   - Vector chỉ phương của AM là $\vec{d_1} = (-1, 0.5, 0)$
   - Vector chỉ phương của B'C' là $\vec{d_2} = (0, 1, 0)$
   - Vector AB' = B' - A = (-1, 0, $\sqrt{2}$)

- Tính tích có hướng $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:
     $$
     \vec{d_1} \times \vec{d_2} = 
     \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     -1 & 0.5 & 0 \
     0 & 1 & 0
     \end{vmatrix} = (0, 0, -1)
     $$

- Độ dài của $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:
     $$
     |\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = 1
     $$

- Tính khoảng cách:
     $$
     d = \frac{|\vec{AB'} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|} = \frac{|(-1, 0, \sqrt{2}) \cdot (0, 0, -1)|}{1} = \frac{|0 + 0 - \sqrt{2}|}{1} = \sqrt{2}
     $$

6. Kết luận:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C là $\sqrt{2}$ ≈ 1.41 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C là 1.41.