Giúp mình với! Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh AB và AC nêu biết:,$1)~BC=15~cm,~\sin B=\frac35;$ $2)~BC=13~cm,~\cos B=\frac5{13};$,$3)~BC=2~cm,~ an B=\sqrt3;$ $4)~BC=41~cm,~\cot B=\frac9{40}.$

Question

Giúp mình với! Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tính độ dài các cạnh AB và AC nêu biết:,$1)~BC=15~cm,~\sin B=\frac35;$ $2)~BC=13~cm,~\cos B=\frac5{13};$,$3)~BC=2~cm,~	an B=\sqrt3;$ $4)~BC=41~cm,~\cot B=\frac9{40}.$

Accepted Answer

Bài 7:
Để giải các bài toán này, ta sẽ sử dụng các định nghĩa của các hàm lượng giác trong tam giác vuông. Cụ thể, với tam giác vuông tại A, ta có:

- $\sin B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}}$
- $\cos B = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}}$
- $\tan B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}$
- $\cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}}$

1) Với $BC = 15$ cm, $\sin B = \frac{3}{5}$:

- Theo định nghĩa của $\sin B$, ta có: $\sin B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$.
- Suy ra $AB = \frac{3}{5} \times 15 = 9$ cm.
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
- Thay số: $15^2 = 9^2 + AC^2$.
- Tính $AC$: $225 = 81 + AC^2$ nên $AC^2 = 144$ và $AC = 12$ cm.

2) Với $BC = 13$ cm, $\cos B = \frac{5}{13}$:

- Theo định nghĩa của $\cos B$, ta có: $\cos B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{13}$.
- Suy ra $AC = \frac{5}{13} \times 13 = 5$ cm.
- Sử dụng định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
- Thay số: $13^2 = AB^2 + 5^2$.
- Tính $AB$: $169 = AB^2 + 25$ nên $AB^2 = 144$ và $AB = 12$ cm.

3) Với $BC = 2$ cm, $\tan B = \sqrt{3}$:

- Theo định nghĩa của $\tan B$, ta có: $\tan B = \frac{AB}{AC} = \sqrt{3}$.
- Suy ra $AB = \sqrt{3} \times AC$.
- Sử dụng định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
- Thay số: $2^2 = (\sqrt{3} \times AC)^2 + AC^2$.
- Tính $AC$: $4 = 3AC^2 + AC^2 = 4AC^2$ nên $AC^2 = 1$ và $AC = 1$ cm.
- Suy ra $AB = \sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3}$ cm.

4) Với $BC = 41$ cm, $\cot B = \frac{9}{40}$:

- Theo định nghĩa của $\cot B$, ta có: $\cot B = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{40}$.
- Suy ra $AC = \frac{9}{40} \times AB$.
- Sử dụng định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
- Thay số: $41^2 = AB^2 + \left(\frac{9}{40} \times AB\right)^2$.
- Tính $AB$: $1681 = AB^2 + \frac{81}{1600}AB^2$.
- Đặt $AB^2 = x$, ta có: $1681 = x + \frac{81}{1600}x$.
- Giải phương trình: $1681 = \frac{1600x + 81x}{1600}$.
- $1681 \times 1600 = 1681x$.
- $x = 1600$ nên $AB = \sqrt{1600} = 40$ cm.
- Suy ra $AC = \frac{9}{40} \times 40 = 9$ cm.