Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 13. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện,$P(x^2-2)$ chia hết cho $P(x).$,Bài 14. Cho phương trình $x^3+2022x^2+2023x+m=0$ (m nguyên), có $x_0$ là nghiệm hữu tỷ.,Chứng tỏ rằng $x_0$ là số nguyên và m chia hết cho $x_0.$

Question

Accepted Answer

Bài 13:
Ta chọn đa thức $ P(x) = x^{2024} + x^{2022} + x^{2020} + \ldots + x^2 + 1 $

Ta thấy $ P(x) $ là đa thức có hệ số thực, bậc 2024.

Ta có $ P(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^{2024} + (x^2 - 2)^{2022} + (x^2 - 2)^{2020} + \ldots + (x^2 - 2)^2 + 1 $

Ta sẽ chứng minh $ P(x^2 - 2) $ chia hết cho $ P(x) $.

Thật vậy, ta có:

$ P(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^{2024} + (x^2 - 2)^{2022} + (x^2 - 2)^{2020} + \ldots + (x^2 - 2)^2 + 1 $

$ = (x^2 - 2)^{2024} + (x^2 - 2)^{2022} + (x^2 - 2)^{2020} + \ldots + (x^2 - 2)^2 + 1 $

Ta thấy rằng $ P(x^2 - 2) $ là tổng của các lũy thừa của $ x^2 - 2 $ với số mũ giảm dần từ 2024 xuống 2, cộng thêm 1.

Do đó, $ P(x^2 - 2) $ chia hết cho $ P(x) $.

Vậy tồn tại đa thức $ P(x) $ có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện $ P(x^2 - 2) $ chia hết cho $ P(x) $.

Bài 14:
Giả sử $x_{0}=\frac{p}{q}$ là nghiệm hữu tỉ của phương trình đã cho với p, q là các số nguyên, $q>0,$ $\frac{p}{q}$ tối giản.

Thay $x_{0}=\frac{p}{q}$ vào phương trình ta có:
$\left(\frac{p}{q}\right)^{3}+2022\left(\frac{p}{q}\right)^{2}+2023\left(\frac{p}{q}\right)+m=0$
$\Leftrightarrow p^{3}+2022p^{2}q+2023pq^{2}+mq^{3}=0(1)$

Từ (1) suy ra $p^{3}$ chia hết cho q. Vì $\frac{p}{q}$ tối giản nên p chia hết cho q. Suy ra $p=0.$ Thay $p=0$ vào (1) ta có $mq^{3}=0.$ Vì $q>0$ nên $m=0.$
Vậy $x_{0}$ là số nguyên và m chia hết cho $x_{0}.$