giải và cách giải

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Giả sử hàm số đã cho là $$. Ta cần tìm tập xác định $$ của hàm số này. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Ta tính đạo hàm $$ của hàm số $$. Bước 3: Xác định các điểm tới hạn Các điểm tới hạn là các điểm $$ trong tập xác định $$ mà tại đó $$ hoặc $$ không tồn tại. Bước 4: Xét dấu của đạo hàm Ta xét dấu của $$ trên các khoảng con của tập xác định $$ để xác định tính đơn điệu của hàm số: - Nếu $$ trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. - Nếu $$ trên một khoảng thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Bước 5: Xác định các điểm cực trị Các điểm cực trị của hàm số là các điểm tới hạn mà tại đó đạo hàm đổi dấu: - Nếu $$ đổi dấu từ âm sang dương tại $$, thì $$ là điểm cực tiểu. - Nếu $$ đổi dấu từ dương sang âm tại $$, thì $$ là điểm cực đại. Bước 6: Kết luận Dựa vào các bước trên, ta kết luận về tính đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số. Ví dụ cụ thể: Giả sử hàm số $$. 1. Tập xác định: $$. 2. Đạo hàm: $$. 3. Điểm tới hạn: Giải phương trình $$: $$ 4. Xét dấu của đạo hàm: - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số đồng biến. 5. Xác định các điểm cực trị: - Tại $$, $$ đổi dấu từ dương sang âm, nên $$ là điểm cực đại. - Tại $$, $$ đổi dấu từ âm sang dương, nên $$ là điểm cực tiểu. 6. Kết luận: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $$ và $$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $$. - Điểm cực đại của hàm số là $$ với giá trị $$. - Điểm cực tiểu của hàm số là $$ với giá trị $$. Như vậy, ta đã hoàn thành việc tìm tính đơn điệu và cực trị của hàm số $$. Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $$, ta cần dựa vào dấu của đạo hàm $$. Dựa vào bảng xét dấu của $$: - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số nghịch biến. - Tại $$, $$. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số đồng biến. - Tại $$, $$. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số nghịch biến. Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $$. Do đó, đáp án đúng là $$. Câu 2: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $$, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $$ trên bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng $$, $$ tại $$ và $$ trên khoảng $$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $$, $$ tại $$ và $$ trên khoảng $$. Do đó, hàm số cũng nghịch biến trên khoảng này. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $$. Do đó, đáp án đúng là $$ Câu 3: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $$, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $$ trên bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên: - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $$, $$ nên hàm số đồng biến. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $$ và $$. Do đó, đáp án đúng là $$. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm đạo hàm của hàm số $$ và xem xét dấu của đạo hàm này. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là một phân thức hữu tỉ, có dạng $$ với $$ và $$. Đạo hàm của hàm số này được tính theo quy tắc đạo hàm của phân thức: $$ Tính các đạo hàm riêng: - $$ - $$ Thay vào công thức: $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm Đạo hàm $$. - Mẫu số $$ luôn dương với mọi $$ (điều kiện xác định của hàm số). - Dấu của $$ phụ thuộc vào tử số $$. Bước 3: Phân tích đồ thị Quan sát đồ thị, ta thấy: - Đồ thị có dạng của một hàm phân thức với tiệm cận đứng tại $$. - Đồ thị đi xuống từ trái qua phải, cho thấy hàm số có xu hướng giảm. Do đó, $$ với mọi $$. Kết luận Mệnh đề đúng là: $$ Câu 5: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $$, ta cần xem xét dấu của đạo hàm $$. Hàm số $$ đồng biến trên khoảng mà $$. Quan sát đồ thị của $$: 1. Trên khoảng $$, đồ thị nằm dưới trục hoành, do đó $$. 2. Trên khoảng $$, đồ thị nằm dưới trục hoành, do đó $$. 3. Trên khoảng $$, đồ thị nằm trên trục hoành, do đó $$. Vậy hàm số $$ đồng biến trên khoảng $$. Do đó, đáp án đúng là $$.