Tìm các giá trị m. 2. Cho phương trình $(2\cos x-1)[(m+1)\sin2x+1-2m+\sin2x]=0,$ với m là tham số.,Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc $[\frac\pi{12};\frac{2\pi}3).$

Question

Accepted Answer

Phương trình đã cho tương đương với:
$$2\cos x - 1 = 0 \quad 	ext{hoặc} \quad (m + 1)\sin 2x + 1 - 2m + \sin 2x = 0.$$
Ta có:
$$2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi.$$
Trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$, phương trình này có hai nghiệm là $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = \frac{5\pi}{3}$. 
Do đó, phương trình ban đầu sẽ có đúng ba nghiệm trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$ nếu và chỉ nếu phương trình $(m + 1)\sin 2x + 1 - 2m + \sin 2x = 0$ có đúng một nghiệm trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$.
Phương trình $(m + 1)\sin 2x + 1 - 2m + \sin 2x = 0$ tương đương với:
$$m(\sin 2x - 2) + 2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{-2\sin 2x - 1}{\sin 2x - 2}.$$
Xét hàm số $f(t) = \frac{-2t - 1}{t - 2}$ trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$, ta có:
$$f'(t) = \frac{-2(t - 2) - (-2t - 1)}{(t - 2)^2} = \frac{5}{(t - 2)^2} > 0 \quad \forall t \in \left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight).$$
Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$. Ta có:
$$f\left( \frac{\pi}{12} ight) = \frac{-2\sin \frac{\pi}{6} - 1}{\sin \frac{\pi}{6} - 2} = \frac{-2 \cdot \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{-2}{-\frac{3}{2}} = \frac{4}{3},$$
$$f\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{-2\sin \frac{4\pi}{3} - 1}{\sin \frac{4\pi}{3} - 2} = \frac{-2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ight) - 1}{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 2} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{-\sqrt{3} - 4}.$$
Vậy phương trình $m = \frac{-2\sin 2x - 1}{\sin 2x - 2}$ có đúng một nghiệm trên đoạn $\left[ \frac{\pi}{12}; \frac{2\pi}{3} ight)$ khi và chỉ khi $m \in \left( \frac{4}{3}; \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{-\sqrt{3} - 4} ight)$.