Giúp mình với! Câu 1:,Một cái ly hình trụ có bán kính đáy là 7 cm, chiều cao là 18 cm (bỏ qua bể dày của thành ly).,a. Tính thể tích của cái ly.,b. Cái ly đang chứa nước. Khối nước bên trong ly có dạng hình trụ chiều cao 10 cm. Người ta thả từ từ từng,viên bi hình cầu làm bằng thép đặc (không thấm nước) có bán kính 3 cm vào trong ly. Hỏi có thể thả nhiều,nhất bao nhiêu viên bi ngập hoàn toàn để nước dâng lên tối đa mà không bị tràn ra ngoài?, ,Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức $P=(\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}-\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}-\frac8{x-1}).\frac{x-1}{\sqrt x},$ với $x0$ và $x e1.$,1. Rút gọn biểu thức P.,2. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho $|P|+P=0.$

Question

Giúp mình với! Câu 1:,Một cái ly hình trụ có bán kính đáy là 7 cm, chiều cao là 18 cm (bỏ qua bể dày của thành ly).,a. Tính thể tích của cái ly.,b. Cái ly đang chứa nước. Khối nước bên trong ly có dạng hình trụ chiều cao 10 cm. Người ta thả từ từ từng,viên bi hình cầu làm bằng thép đặc (không thấm nước) có bán kính 3 cm vào trong ly. Hỏi có thể thả nhiều,nhất bao nhiêu viên bi ngập hoàn toàn để nước dâng lên tối đa mà không bị tràn ra ngoài?,

,Câu 2. (1,0 điểm) Cho biểu thức $P=(\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}-\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+1}-\frac8{x-1}).\frac{x-1}{\sqrt x},$ với $x>0$ và $x e1.$,1. Rút gọn biểu thức P.,2. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho $|P|+P=0.$

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

a. Tính thể tích của cái ly

Cái ly có dạng hình trụ với bán kính đáy $ r = 7 $ cm và chiều cao $ h = 18 $ cm. Thể tích $ V $ của hình trụ được tính theo công thức:

$$
V = \pi r^2 h
$$

Thay các giá trị vào, ta có:

$$
V = \pi \times 7^2 \times 18 = \pi \times 49 \times 18 = 882\pi \, \text{cm}^3
$$

b. Tính số viên bi có thể thả vào ly

Khối nước bên trong ly có chiều cao 10 cm, nên thể tích nước ban đầu là:

$$
V_{\text{nước}} = \pi \times 7^2 \times 10 = \pi \times 49 \times 10 = 490\pi \, \text{cm}^3
$$

Thể tích còn lại của ly để chứa thêm nước và viên bi là:

$$
V_{\text{còn lại}} = 882\pi - 490\pi = 392\pi \, \text{cm}^3
$$

Thể tích của một viên bi hình cầu có bán kính 3 cm là:

$$
V_{\text{bi}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36\pi \, \text{cm}^3
$$

Số viên bi tối đa có thể thả vào ly mà không làm nước tràn ra ngoài là:

$$
n = \left\lfloor \frac{V_{\text{còn lại}}}{V_{\text{bi}}} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{392\pi}{36\pi} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{392}{36} \right\rfloor = \left\lfloor 10.888 \right\rfloor = 10
$$

Vậy có thể thả nhiều nhất 10 viên bi vào ly mà không làm nước tràn ra ngoài.

Câu 2:
Bài Giải Chi Tiết

Phần 1: Rút gọn biểu thức $ P $

1. Biểu thức ban đầu:
   $$
   P = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{8}{x - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x}}
   $$

2. Quy đồng mẫu số của các phân thức trong ngoặc:
   $$
   \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}
   $$
   Mẫu số chung là $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$:
   $$
   \frac{(\sqrt{x} + 1)^2 - (\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

3. Phát triển tử số:
   $$
   (\sqrt{x} + 1)^2 - (\sqrt{x} - 1)^2 = (x + 2\sqrt{x} + 1) - (x - 2\sqrt{x} + 1) = 4\sqrt{x}
   $$

4. Thay tử số đã phát triển vào phân thức:
   $$
   \frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{4\sqrt{x}}{x - 1}
   $$

5. Cộng thêm $-\frac{8}{x - 1}$:
   $$
   \frac{4\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{8}{x - 1} = \frac{4\sqrt{x} - 8}{x - 1}
   $$

6. Nhân với $\frac{x - 1}{\sqrt{x}}$:
   $$
   P = \left( \frac{4\sqrt{x} - 8}{x - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{(4\sqrt{x} - 8)(x - 1)}{(x - 1)\sqrt{x}} = \frac{4\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x}}
   $$

7. Rút gọn cuối cùng:
   $$
   P = \frac{4\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x}} = 4 - \frac{8}{\sqrt{x}}
   $$

Phần 2: Tìm tất cả các số nguyên $ x $ sao cho $ |P| + P = 0 $

1. Biểu thức $ P $ đã rút gọn:
   $$
   P = 4 - \frac{8}{\sqrt{x}}
   $$

2. Điều kiện $ |P| + P = 0 $:
   $$
   |4 - \frac{8}{\sqrt{x}}| + 4 - \frac{8}{\sqrt{x}} = 0
   $$

3. Xét trường hợp $ 4 - \frac{8}{\sqrt{x}} \geq 0 $:
   $$
   4 - \frac{8}{\sqrt{x}} = 0 \implies 4 = \frac{8}{\sqrt{x}} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4
   $$

4. Xét trường hợp $ 4 - \frac{8}{\sqrt{x}} < 0 $:
   $$
   -(4 - \frac{8}{\sqrt{x}}) + 4 - \frac{8}{\sqrt{x}} = 0 \implies -4 + \frac{8}{\sqrt{x}} + 4 - \frac{8}{\sqrt{x}} = 0 \implies 0 = 0
   $$
   Điều này luôn đúng, nhưng không đưa ra giá trị mới cho $ x $.

5. Kết luận:
   $$
   x = 4
   $$

Đáp án cuối cùng:
1. Biểu thức $ P $ đã rút gọn là:
   $$
   P = 4 - \frac{8}{\sqrt{x}}
   $$

2. Số nguyên $ x $ thỏa mãn $ |P| + P = 0 $ là:
   $$
   x = 4
   $$