Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y=2x+m/x+1 cắt đường thẳng y=1-x tại 2 điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+m}{x+1}\) và đường thẳng \(y=1-x\) là: \[ \frac{2x+m}{x+1} = 1 - x \] Điều kiện xác định: \(x \neq -1\). Nhân cả hai vế với \(x + 1\): \[ 2x + m = (1 - x)(x + 1) \] Phát triển vế phải: \[ (1 - x)(x + 1) = x + 1 - x^2 - x = 1 - x^2 \] Do đó, ta có: \[ 2x + m = 1 - x^2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 2x + m - 1 = 0 \] Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt, phương trình bậc hai này phải có 2 nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức \(\Delta > 0\). Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 4 - 4(m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m \] Yêu cầu \(\Delta > 0\): \[ 8 - 4m > 0 \implies 4m < 8 \implies m < 2 \] Vì \(m\) là giá trị nguyên dương, nên \(m\) có thể nhận các giá trị: \[ m = 1 \] Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2x + m}{x + 1}\) cắt đường thẳng \(y = 1 - x\) tại 2 điểm phân biệt. Đáp án: 1 giá trị. Câu 10: Để đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + m}{x + 1} \) cắt đường thẳng \( y = 1 - x \) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình: \[ \frac{2x + m}{x + 1} = 1 - x \] Trước tiên, ta nhân cả hai vế với \( x + 1 \) (với điều kiện \( x \neq -1 \)): \[ 2x + m = (1 - x)(x + 1) \] \[ 2x + m = x + 1 - x^2 - x \] \[ 2x + m = 1 - x^2 \] \[ x^2 + 2x + m - 1 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai \( x^2 + 2x + (m - 1) = 0 \). Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, biệt số \( \Delta \) phải lớn hơn 0: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 4 - 4(m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m \] Yêu cầu \( \Delta > 0 \): \[ 8 - 4m > 0 \] \[ 8 > 4m \] \[ m < 2 \] Vì \( m \) là giá trị nguyên dương, nên \( m \) có thể nhận các giá trị \( m = 1 \). Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + m}{x + 1} \) cắt đường thẳng \( y = 1 - x \) tại hai điểm phân biệt. Đáp án: 1 giá trị. Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị nguyên dương của tham số \( m \) sao cho đường thẳng \( d: y = x + m \) cắt đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) với \( AB = 4 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số Hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1. \] Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và đồ thị Để tìm giao điểm của đường thẳng \( d: y = x + m \) và đồ thị \( y = \frac{2x-1}{x-1} \), ta giải phương trình: \[ x + m = \frac{2x-1}{x-1}. \] Nhân hai vế với \( x-1 \) (với điều kiện \( x \neq 1 \)) ta được: \[ (x + m)(x - 1) = 2x - 1. \] Khai triển và sắp xếp lại: \[ x^2 + mx - x - m = 2x - 1. \] \[ x^2 + (m-1)x - m = 2x - 1. \] \[ x^2 + (m-3)x - m + 1 = 0. \] Bước 3: Điều kiện để có hai giao điểm phân biệt Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \[ \Delta = (m-3)^2 - 4(-m+1) > 0. \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = (m-3)^2 + 4m - 4. \] \[ = m^2 - 6m + 9 + 4m - 4. \] \[ = m^2 - 2m + 5. \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ m^2 - 2m + 5 > 0. \] Bất phương trình này luôn đúng với mọi \( m \) vì \(\Delta' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0\), do đó \( m^2 - 2m + 5 \) không có nghiệm thực và luôn dương. Bước 4: Tính khoảng cách \( AB = 4 \) Giả sử hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Vi-ét, ta có: \[ x_1 + x_2 = 3 - m, \] \[ x_1x_2 = -m + 1. \] Khoảng cách \( AB = 4 \) tương đương với: \[ |x_1 - x_2| = 4. \] Ta có: \[ |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{(3-m)^2 - 4(-m+1)}. \] Đặt \( |x_1 - x_2| = 4 \), ta có: \[ \sqrt{(3-m)^2 + 4m - 4} = 4. \] Bình phương hai vế: \[ (3-m)^2 + 4m - 4 = 16. \] \[ 9 - 6m + m^2 + 4m - 4 = 16. \] \[ m^2 - 2m + 5 = 16. \] \[ m^2 - 2m - 11 = 0. \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48. \] \[ m = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3}. \] Giá trị nguyên dương của \( m \) là \( m = 1 + 2\sqrt{3} \), nhưng không phải là số nguyên. Do đó, không có giá trị nguyên dương nào của \( m \) thỏa mãn điều kiện bài toán.