Giúp mình với!

Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\tan\alpha$ dựa trên điều kiện đã cho: $\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2}{5}$ và $\tan\alpha < 1$. Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác Ta có công thức: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha \] Từ đó, suy ra: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \] Bước 2: Tìm $\tan\alpha$ Ta biết rằng: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Và từ công thức: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Bước 3: Sử dụng công thức $\sin 2\alpha$ và $\cos 2\alpha$ Ta có: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \] Và: \[ \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \] Bước 4: Tìm $\tan 2\alpha$ Ta có: \[ \tan 2\alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\cos 2\alpha} \] Bước 5: Xét điều kiện $\tan\alpha < 1$ Ta cần tìm giá trị $\tan\alpha$ thỏa mãn điều kiện này. Dựa vào các đáp án cho trước, ta thử từng giá trị: - Với $\tan\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, ta có $\tan^2\alpha = \frac{1}{5}$, không thỏa mãn điều kiện $\tan\alpha < 1$. - Với $\tan\alpha = \frac{1}{2}$, ta có $\tan^2\alpha = \frac{1}{4}$, thỏa mãn điều kiện $\tan\alpha < 1$. - Với $\tan\alpha = 2$, không thỏa mãn điều kiện $\tan\alpha < 1$. - Với $\tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, không thỏa mãn điều kiện $\tan\alpha < 1$. Do đó, giá trị thỏa mãn điều kiện là $\tan\alpha = \frac{1}{2}$. Kết luận: Đáp án đúng là $B.~\tan\alpha = \frac{1}{2}$. Câu 15: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( M = \frac{\tan\alpha - 3\cot\alpha + 2}{\tan\alpha + \cot\alpha} \) với điều kiện \(\sin\alpha = \frac{1}{3}\). Bước 1: Tìm \(\cos\alpha\) và \(\tan\alpha\) Vì \(\alpha\) là góc nhọn, ta có \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). \[ \sin^2\alpha = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Vì \(\alpha\) là góc nhọn, \(\cos\alpha > 0\), do đó: \[ \cos\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Từ đó, ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Bước 2: Tính \(\cot\alpha\) \[ \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \] Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \(M\) Thay \(\tan\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\) và \(\cot\alpha = 2\sqrt{2}\) vào biểu thức \(M\): \[ M = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} - 3 \times 2\sqrt{2} + 2}{\frac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{2}} \] Tính tử số: \[ \frac{\sqrt{2}}{4} - 6\sqrt{2} + 2 = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{24\sqrt{2}}{4} + \frac{8}{4} = \frac{\sqrt{2} - 24\sqrt{2} + 8}{4} = \frac{-23\sqrt{2} + 8}{4} \] Tính mẫu số: \[ \frac{\sqrt{2}}{4} + 2\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{8\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \] Do đó: \[ M = \frac{\frac{-23\sqrt{2} + 8}{4}}{\frac{9\sqrt{2}}{4}} = \frac{-23\sqrt{2} + 8}{9\sqrt{2}} \] Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt{2}\): \[ M = \frac{-23 + \frac{8}{\sqrt{2}}}{9} \] Rút gọn \(\frac{8}{\sqrt{2}}\): \[ \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \] Vậy: \[ M = \frac{-23 + 4\sqrt{2}}{9} = \frac{4\sqrt{2} - 23}{9} \] Do đó, giá trị của biểu thức \(M\) là \(\frac{4\sqrt{2} - 23}{9}\). Vậy đáp án đúng là \(D.~\frac{4\sqrt{2} - 23}{9}\). Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( M = \sin\alpha - 2\cos\alpha \) khi biết rằng \(\sin\alpha - \cos\alpha = \frac{4}{5}\). Bước 1: Tìm \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) Ta có phương trình: \[ \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{4}{5} \] Đặt \(\sin\alpha = x\) và \(\cos\alpha = y\), ta có: \[ x - y = \frac{4}{5} \] Vì \(\alpha\) là góc tù, nên \(\sin\alpha > 0\) và \(\cos\alpha < 0\). Do đó, \(x > 0\) và \(y < 0\). Ngoài ra, ta có: \[ x^2 + y^2 = 1 \] Bước 2: Giải hệ phương trình Từ \(x - y = \frac{4}{5}\), ta có: \[ x = y + \frac{4}{5} \] Thay vào phương trình \(x^2 + y^2 = 1\): \[ (y + \frac{4}{5})^2 + y^2 = 1 \] Khai triển và đơn giản hóa: \[ y^2 + \frac{8}{5}y + \frac{16}{25} + y^2 = 1 \] \[ 2y^2 + \frac{8}{5}y + \frac{16}{25} = 1 \] Nhân cả hai vế với 25 để loại bỏ mẫu: \[ 50y^2 + 40y + 16 = 25 \] \[ 50y^2 + 40y - 9 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ \Delta = 40^2 - 4 \times 50 \times (-9) = 1600 + 1800 = 3400 \] \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{3400} = \sqrt{100 \times 34} = 10\sqrt{34} \] Nghiệm của phương trình là: \[ y = \frac{-40 \pm 10\sqrt{34}}{100} \] Vì \(y < 0\), chọn nghiệm: \[ y = \frac{-40 - 10\sqrt{34}}{100} = -\frac{4 + \sqrt{34}}{10} \] Từ đó, \(x = y + \frac{4}{5}\): \[ x = -\frac{4 + \sqrt{34}}{10} + \frac{8}{10} = \frac{-4 - \sqrt{34} + 8}{10} = \frac{4 - \sqrt{34}}{10} \] Bước 3: Tính giá trị của \(M\) Biểu thức cần tìm là: \[ M = \sin\alpha - 2\cos\alpha = x - 2y \] Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào: \[ M = \frac{4 - \sqrt{34}}{10} - 2\left(-\frac{4 + \sqrt{34}}{10}\right) \] \[ = \frac{4 - \sqrt{34}}{10} + \frac{8 + 2\sqrt{34}}{10} \] \[ = \frac{4 - \sqrt{34} + 8 + 2\sqrt{34}}{10} \] \[ = \frac{12 + \sqrt{34}}{10} \] Vậy giá trị của \(M\) là \(\frac{12 + \sqrt{34}}{10}\). Đáp án đúng là \(C\).