chỉ hộ bài tập

Chúng ta sẽ giải từng bài tập một cách chi tiết. Bài 61: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \( y = e^x \left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^2 x} \right) \). Bước 1: Phân tích hàm số. - Ta có: \[ y = e^x \left( 2 + \frac{e^{-x}}{\cos^2 x} \right) = 2e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm. - Nguyên hàm của \( 2e^x \) là \( 2e^x \). - Nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos^2 x} \) là \( \tan x \). Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm. - Vậy họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: \[ \int y \, dx = 2e^x + \tan x + C \] Kết luận: Đáp án đúng là \( D.~2e^x + \frac{1}{\cos x} + C \). Bài 62: Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \). Bước 1: Đặt biến phụ. - Đặt \( u = 2x - 1 \), suy ra \( du = 2dx \) hay \( dx = \frac{1}{2}du \). Bước 2: Thay đổi biến. - Khi đó, \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \) và \( dx = \frac{1}{2}du \). Bước 3: Tìm nguyên hàm. - Nguyên hàm của \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \) là: \[ \int \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{4} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{2}\sqrt{u} + C \] Bước 4: Thay lại biến. - Thay \( u = 2x - 1 \) vào, ta được: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2}\sqrt{2x-1} + C \] Kết luận: Đáp án đúng là \( A.~\int f(x)dx = \frac{1}{2}\sqrt{2x-1} + C \). Bài 63: Tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (x+1)(x+2)(x+3) \). Bước 1: Khai triển biểu thức. - Khai triển \( (x+1)(x+2)(x+3) \): \[ (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 \] \[ (x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^3 + 3x^2 + 2x + 3x^2 + 9x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm. - Nguyên hàm của \( x^3 \) là \( \frac{x^4}{4} \). - Nguyên hàm của \( 6x^2 \) là \( 2x^3 \). - Nguyên hàm của \( 11x \) là \( \frac{11}{2}x^2 \). - Nguyên hàm của \( 6 \) là \( 6x \). Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm. - Vậy nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \] Kết luận: Đáp án đúng là \( C.~F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x^3 + \frac{11}{2}x^2 + 6x + C \). Câu 64: Ta có: $\int{\frac{3x-2}{(x-2)^2}}dx=\int{\frac{3(x-2)+4}{(x-2)^2}}dx=3\int{\frac{1}{x-2}}dx+4\int{\frac{1}{(x-2)^2}}dx$ $=3\ln |x-2|-\frac{4}{x-2}+C$ Do $x>2$ nên $|x-2|=x-2$. Vậy $\int{\frac{3x-2}{(x-2)^2}}dx=3\ln (x-2)-\frac{4}{x-2}+C$ Chọn C. Câu 65: Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int \frac{2x - 1}{(x + 1)^2} \, dx \] Đặt \( u = x + 1 \). Suy ra \( du = dx \) và \( x = u - 1 \). Thay vào tích phân ta có: \[ \int \frac{2(u - 1) - 1}{u^2} \, du = \int \frac{2u - 2 - 1}{u^2} \, du = \int \frac{2u - 3}{u^2} \, du \] Tách thành hai tích phân: \[ = \int \left( \frac{2u}{u^2} - \frac{3}{u^2} \right) \, du = \int \left( \frac{2}{u} - \frac{3}{u^2} \right) \, du \] Tích phân từng phần: \[ = 2 \int \frac{1}{u} \, du - 3 \int \frac{1}{u^2} \, du \] Tính các tích phân đơn giản: \[ = 2 \ln|u| + \frac{3}{u} + C \] Thay lại \( u = x + 1 \): \[ = 2 \ln|x + 1| + \frac{3}{x + 1} + C \] Vì \( x \in (-1; +\infty) \), nên \( x + 1 > 0 \), do đó \( |x + 1| = x + 1 \). Vậy: \[ \int \frac{2x - 1}{(x + 1)^2} \, dx = 2 \ln(x + 1) + \frac{3}{x + 1} + C \] Đáp án đúng là: \[ B.~2\ln(x+1)+\frac{3}{x+1}+C \] Câu 66: Ta biết rằng \( F(x) = x^2 \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)e^{2x} \). Điều này có nghĩa là: \[ F'(x) = f(x)e^{2x} \] Từ đó suy ra: \[ f(x)e^{2x} = 2x \] Tiếp theo, ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f'(x)e^{2x} \). Trước tiên, ta sẽ tìm \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{2x}{e^{2x}} = 2xe^{-2x} \] Bây giờ, ta cần tìm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2xe^{-2x}) \] Sử dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = 2e^{-2x} + 2x \cdot (-2)e^{-2x} \] \[ f'(x) = 2e^{-2x} - 4xe^{-2x} \] \[ f'(x) = 2e^{-2x}(1 - 2x) \] Bây giờ, ta cần tìm nguyên hàm của \( f'(x)e^{2x} \): \[ \int f'(x)e^{2x} \, dx = \int 2e^{-2x}(1 - 2x)e^{2x} \, dx \] \[ = \int 2(1 - 2x) \, dx \] \[ = \int (2 - 4x) \, dx \] \[ = 2x - 2x^2 + C \] Vậy nguyên hàm của \( f'(x)e^{2x} \) là: \[ \int f'(x)e^{2x} \, dx = -2x^2 + 2x + C \] Đáp án đúng là: \[ D. \int f'(x)e^{2x} \, dx = -2x^2 + 2x + C \] Câu 67: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \) thỏa mãn điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + \cos x \): \[ F(x) = \int (\sin x + \cos x) \, dx \] Ta biết rằng: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] và \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] Do đó: \[ F(x) = -\cos x + \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. 2. Áp dụng điều kiện ban đầu \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C \] Ta biết rằng: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{và} \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] Do đó: \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 + 1 + C = 1 + C \] Theo điều kiện \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \): \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] 3. Thay giá trị của \( C \) vào biểu thức của \( F(x) \): \[ F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \] Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~F(x) = -\cos x + \sin x + 1} \] Câu 68: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) thỏa mãn điều kiện \( F(0) = \frac{3}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (e^x + 2x) \, dx \] Ta tách thành hai tích phân: \[ F(x) = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx \] 2. Tính từng tích phân: - Tích phân của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] - Tích phân của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_2 \] 3. Kết hợp các kết quả: \[ F(x) = e^x + x^2 + C \] (gộp hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số \( C \)). 4. Sử dụng điều kiện ban đầu \( F(0) = \frac{3}{2} \) để tìm \( C \): \[ F(0) = e^0 + 0^2 + C = \frac{3}{2} \] \[ 1 + C = \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] 5. Viết nguyên hàm cụ thể: \[ F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} \] Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) thỏa mãn điều kiện \( F(0) = \frac{3}{2} \) là: \[ F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} \]