Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD BE CF cắt nhau tại H cmr

SDEF= (1-cos2A-cos2B-cos2C). S ABC

$\frac{HA}{BC}$ +$\frac{HC}{AB}$ + $\frac{HB}{AC}$ $\geq$ $\sqrt{3}$

Question

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD BE CF cắt nhau tại H cmr

SDEF= (1-cos2A-cos2B-cos2C). S ABC

$\frac{HA}{BC}$ +$\frac{HC}{AB}$ + $\frac{HB}{AC}$ $\geq$ $\sqrt{3}$

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{HA}{BC} + \frac{HC}{AB} + \frac{HB}{AC} \geq \sqrt{3}$, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học và bất đẳng thức.

Bước 1: Sử dụng tính chất của tam giác và đường cao

Trong tam giác $ABC$, $AD$, $BE$, $CF$ là các đường cao cắt nhau tại trực tâm $H$. Ta có các hệ thức sau:

- $HA = 2R \cos A$
- $HB = 2R \cos B$
- $HC = 2R \cos C$

với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bước 2: Biểu diễn các tỉ số

Ta có:

$$
\frac{HA}{BC} = \frac{2R \cos A}{BC}
$$

$$
\frac{HB}{AC} = \frac{2R \cos B}{AC}
$$

$$
\frac{HC}{AB} = \frac{2R \cos C}{AB}
$$

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số dương:

$$
\left(\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB}\right)^2 \geq 3\left(\frac{HA \cdot HB \cdot HC}{BC \cdot AC \cdot AB}\right)
$$

Bước 4: Tính giá trị của $\frac{HA \cdot HB \cdot HC}{BC \cdot AC \cdot AB}$

Từ các hệ thức trên, ta có:

$$
HA \cdot HB \cdot HC = (2R \cos A)(2R \cos B)(2R \cos C) = 8R^3 \cos A \cos B \cos C
$$

Và:

$$
BC \cdot AC \cdot AB = 8R^3 \sin A \sin B \sin C
$$

Do đó:

$$
\frac{HA \cdot HB \cdot HC}{BC \cdot AC \cdot AB} = \frac{\cos A \cos B \cos C}{\sin A \sin B \sin C}
$$

Bước 5: Sử dụng bất đẳng thức

Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các tính toán trên, ta có:

$$
\left(\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB}\right)^2 \geq 3 \cdot \frac{\cos A \cos B \cos C}{\sin A \sin B \sin C}
$$

Vì tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, nên $\cos A, \cos B, \cos C$ đều dương và $\sin A, \sin B, \sin C$ cũng dương. Do đó, bất đẳng thức trên dẫn đến:

$$
\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}
$$

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức $\frac{HA}{BC} + \frac{HB}{AC} + \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}$.