CMR: tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là 1 số chính phương

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: \( n, n+1, n+2, n+3\) (điều kiện: \(n \geq 0)\) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là: \[ n(n+1)(n+2)(n+3) \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này như sau: \[ n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] \] \[ = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) \] Đặt \( m = n^2 + 3n \). Khi đó ta có: \[ m(m+2) = m^2 + 2m \] Cộng thêm 1 vào tích trên, ta được: \[ m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 \] Do đó: \[ n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (m+1)^2 \] Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.