giúp mình bài 4 vs Bài 4 Cho x thoả mãn $ an\alpha=\frac{-3}4$,Tính $M=\frac{2 an\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$,$N=\frac{\sin^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$

Question

giúp mình bài 4 vs Bài 4 Cho x thoả mãn $	an\alpha=\frac{-3}4$,Tính $M=\frac{2	an\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$,$N=\frac{\sin^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$

Accepted Answer

Bài 4:
Để tính giá trị của $ M $ và $ N $ cho trước, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định giá trị của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$

Biết rằng $\tan \alpha = \frac{-3}{4}$. Ta có thể suy ra:
$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3}{4}
$$
Do đó, ta có thể chọn:
$$
\sin \alpha = -3k \quad \text{và} \quad \cos \alpha = 4k
$$
Trong đó $ k $ là hằng số cần xác định.

Bước 2: Xác định giá trị của $ k $

Ta biết rằng:
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$
Thay giá trị của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ vào:
$$
(-3k)^2 + (4k)^2 = 1
$$
$$
9k^2 + 16k^2 = 1
$$
$$
25k^2 = 1
$$
$$
k^2 = \frac{1}{25}
$$
$$
k = \pm \frac{1}{5}
$$

Bước 3: Xác định giá trị của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$

Vì $\tan \alpha = \frac{-3}{4}$ nằm trong góc phần tư thứ IV, nên $\sin \alpha$ âm và $\cos \alpha$ dương. Do đó:
$$
k = \frac{1}{5}
$$
Vậy:
$$
\sin \alpha = -3 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5}
$$
$$
\cos \alpha = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
$$

Bước 4: Tính giá trị của $ M $

$$
M = \frac{2 \tan \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}
$$
Thay giá trị của $\tan \alpha$, $\sin \alpha$, và $\cos \alpha$ vào:
$$
M = \frac{2 \left( \frac{-3}{4} \right) + \frac{4}{5}}{-\frac{3}{5} - \frac{4}{5}}
$$
$$
M = \frac{\frac{-6}{4} + \frac{4}{5}}{-\frac{7}{5}}
$$
$$
M = \frac{\frac{-30}{20} + \frac{16}{20}}{-\frac{7}{5}}
$$
$$
M = \frac{\frac{-14}{20}}{-\frac{7}{5}}
$$
$$
M = \frac{\frac{-7}{10}}{-\frac{7}{5}}
$$
$$
M = \frac{-7}{10} \cdot \frac{5}{-7}
$$
$$
M = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
$$

Bước 5: Tính giá trị của $ N $

$$
N = \frac{\sin^2 \alpha - 3 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}
$$
Thay giá trị của $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ vào:
$$
N = \frac{\left( -\frac{3}{5} \right)^2 - 3 \left( -\frac{3}{5} \right) \left( \frac{4}{5} \right)}{2 \left( -\frac{3}{5} \right)^2 - \left( \frac{4}{5} \right)^2}
$$
$$
N = \frac{\frac{9}{25} + \frac{36}{25}}{2 \cdot \frac{9}{25} - \frac{16}{25}}
$$
$$
N = \frac{\frac{45}{25}}{\frac{18}{25} - \frac{16}{25}}
$$
$$
N = \frac{\frac{45}{25}}{\frac{2}{25}}
$$
$$
N = \frac{45}{25} \cdot \frac{25}{2}
$$
$$
N = \frac{45}{2} = 22.5
$$

Kết luận

Giá trị của $ M $ và $ N $ lần lượt là:
$$
M = \frac{1}{2}
$$
$$
N = 22.5
$$