Chứng minh: $a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-1}. b+....+ab^{n-2} +b^{n-1})$
Giúp mình với!

Question

Accepted Answer

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở (n = 1)
Khi n = 1, ta có:
$a^1 - b^1 = a - b$
và
$(a - b)(a^{1-1} + a^{1-1}b + ... + ab^{1-2} + b^{1-1}) = (a - b)(1)$
Do đó, $a - b = a - b$. Điều này đúng.

Bước 2: Giả sử khẳng định đúng cho n = k, tức là:
$a^k - b^k = (a - b)(a^{k-1} + a^{k-1}b + ... + ab^{k-2} + b^{k-1})$

Bước 3: Ta cần chứng minh khẳng định cũng đúng cho n = k + 1, tức là:
$a^{k+1} - b^{k+1} = (a - b)(a^k + a^kb + ... + ab^{k-1} + b^k)$

Ta có:
$a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot a^k - b \cdot b^k$
$= a \cdot a^k - a \cdot b^k + a \cdot b^k - b \cdot b^k$
$= a(a^k - b^k) + b^k(a - b)$

Theo giả thiết quy nạp, ta có:
$a(a^k - b^k) = a[(a - b)(a^{k-1} + a^{k-1}b + ... + ab^{k-2} + b^{k-1})]$
$= (a - b)[a(a^{k-1} + a^{k-1}b + ... + ab^{k-2} + b^{k-1})]$

Vậy:
$a^{k+1} - b^{k+1} = (a - b)[a(a^{k-1} + a^{k-1}b + ... + ab^{k-2} + b^{k-1})] + b^k(a - b)$
$= (a - b)[a(a^{k-1} + a^{k-1}b + ... + ab^{k-2} + b^{k-1}) + b^k]$
$= (a - b)(a^k + a^kb + ... + ab^{k-1} + b^k)$

Như vậy, khẳng định đã được chứng minh đúng cho n = k + 1.

Kết luận: Theo phương pháp quy nạp toán học, khẳng định $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-1}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})$ đúng với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh: $a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-1}. b+....+ab^{n-2} +b^{n-1})$ Giúp mình với!