Cho đường tròn (O,R) và dây AB cố định. Từ điểm C thay đổi trên đường tròn dựng hình bình hành CABD. Chứng minh giao điểm hai đường chéo của hình bình hành CABD nằm trên một đường tròn cố định.

Để chứng minh giao điểm hai đường chéo của hình bình hành CABD nằm trên một đường tròn cố định, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao điểm của hai đường chéo: - Gọi \( M \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình bình hành \( CABD \). 2. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \). 3. Xét đường tròn cố định: - Vì \( A \) và \( B \) là hai điểm cố định trên đường tròn \((O, R)\), nên trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), gọi là \( N \), cũng là một điểm cố định. - Ta cần chứng minh rằng \( M \) luôn nằm trên một đường tròn cố định khi \( C \) thay đổi trên đường tròn \((O, R)\). 4. Chứng minh \( M \) nằm trên đường tròn cố định: - Xét tam giác \( \triangle AMC \) và \( \triangle BMD \). Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \), ta có: \[ AM = \frac{1}{2}AC \quad \text{và} \quad BM = \frac{1}{2}BD \] - Do \( C \) thay đổi trên đường tròn \((O, R)\), nên \( AC \) và \( BD \) cũng thay đổi, nhưng trung điểm \( M \) của chúng sẽ luôn nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm \( N \) của \( AB \). 5. Kết luận: - Vì \( M \) là trung điểm của hai đường chéo và \( N \) là trung điểm cố định của \( AB \), nên \( M \) luôn nằm trên đường tròn có đường kính là \( AB \). - Do đó, giao điểm \( M \) của hai đường chéo của hình bình hành \( CABD \) nằm trên một đường tròn cố định khi \( C \) thay đổi trên đường tròn \((O, R)\). Vậy, ta đã chứng minh được rằng giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \( CABD \) nằm trên một đường tròn cố định.