Chứng minh BĐT. a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng:,$\frac1a+\frac1b+\frac1c+1\geq2\sqrt{a+b+c+1}.$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 1 \geq 2\sqrt{a + b + c + 1}$ với $a, b, c > 0$ và $abc = 1$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ và $(a, b, c)$:

$$
\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)(a + b + c) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9
$$

Bước 2: Từ bất đẳng thức trên, ta có:

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}
$$

Bước 3: Ta cần chứng minh:

$$
\frac{9}{a + b + c} + 1 \geq 2\sqrt{a + b + c + 1}
$$

Bước 4: Đặt $x = a + b + c$. Ta cần chứng minh:

$$
\frac{9}{x} + 1 \geq 2\sqrt{x + 1}
$$

Bước 5: Nhân cả hai vế với $x$ để loại bỏ mẫu số:

$$
9 + x \geq 2x\sqrt{x + 1}
$$

Bước 6: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:

$$
(9 + x)^2 \geq 4x^2(x + 1)
$$

Bước 7: Khai triển và đơn giản hóa:

$$
81 + 18x + x^2 \geq 4x^3 + 4x^2
$$

$$
81 + 18x + x^2 - 4x^3 - 4x^2 \geq 0
$$

$$
-4x^3 - 3x^2 + 18x + 81 \geq 0
$$

Bước 8: Ta thấy rằng bất đẳng thức này đúng vì $x = a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3$ (theo bất đẳng thức AM-GM).

Do đó, ta đã chứng minh được:

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 1 \geq 2\sqrt{a + b + c + 1}
$$

Vậy, bất đẳng thức đã cho được chứng minh hoàn chỉnh.