Câu $\rm 1.6$.

Phần a) Ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ tăng và không bị chặn trên, từ đó suy ra $\lim u_n = +\infty$. - Bước 1: Chứng minh dãy $(u_n)$ tăng. Ta có: \[ u_1 = 2023 \] Giả sử $u_n > 0$ (điều này hiển nhiên vì $u_1 = 2023 > 0$). Xét $u_{n+1}$: \[ 7u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 9 \] Vì $u_n > 0$, nên: \[ u_n^2 + u_n + 9 > 9 \implies 7u_{n+1} > 9 \implies u_{n+1} > \frac{9}{7} \] Tiếp theo, ta chứng minh $u_{n+1} > u_n$: \[ 7u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 9 \] \[ 7u_n < 7u_{n+1} \implies 7u_n < u_n^2 + u_n + 9 \implies 0 < u_n^2 - 6u_n + 9 \implies 0 < (u_n - 3)^2 \] Điều này đúng vì $u_n > 0$ và $u_n \neq 3$ (do $u_1 = 2023$). Vậy $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^$, tức là dãy $(u_n)$ tăng. - Bước 2: Chứng minh dãy $(u_n)$ không bị chặn trên. Giả sử ngược lại, tồn tại $M > 0$ sao cho $u_n \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^$. Xét: \[ 7u_{n+1} = u_n^2 + u_n + 9 \] Nếu $u_n \leq M$, thì: \[ 7u_{n+1} \leq M^2 + M + 9 \implies u_{n+1} \leq \frac{M^2 + M + 9}{7} \] Do dãy $(u_n)$ tăng, nên: \[ u_{n+1} \geq u_n \implies \frac{M^2 + M + 9}{7} \geq M \implies M^2 + M + 9 \geq 7M \implies M^2 - 6M + 9 \geq 0 \implies (M - 3)^2 \geq 0 \] Điều này luôn đúng, nhưng mâu thuẫn với giả thiết $u_n \leq M$ vì $u_n$ tăng và $u_1 = 2023$. Vậy dãy $(u_n)$ không bị chặn trên. - Kết luận: Dãy $(u_n)$ tăng và không bị chặn trên, do đó $\lim u_n = +\infty$. Phần b) Ta sẽ tìm giới hạn của dãy số $(v_n)$ với $v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k + 4}$. - Bước 1: Biến đổi biểu thức $\frac{1}{u_k + 4}$. Từ công thức truy hồi: \[ 7u_{k+1} = u_k^2 + u_k + 9 \] Suy ra: \[ 7(u_{k+1} - 3) = u_k^2 + u_k + 9 - 21 = u_k^2 + u_k - 12 \] \[ 7(u_{k+1} - 3) = (u_k - 3)(u_k + 4) \] \[ \frac{1}{u_k + 4} = \frac{7(u_{k+1} - 3)}{(u_k - 3)(u_k + 4)} = \frac{7}{u_k - 3} \cdot \frac{u_{k+1} - 3}{7} \] \[ \frac{1}{u_k + 4} = \frac{1}{u_k - 3} - \frac{1}{u_{k+1} - 3} \] - Bước 2: Tính tổng $v_n$. \[ v_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{u_k - 3} - \frac{1}{u_{k+1} - 3} \right) \] Đây là một tổng telescoping, nên: \[ v_n = \left( \frac{1}{u_1 - 3} - \frac{1}{u_2 - 3} \right) + \left( \frac{1}{u_2 - 3} - \frac{1}{u_3 - 3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{u_n - 3} - \frac{1}{u_{n+1} - 3} \right) \] \[ v_n = \frac{1}{u_1 - 3} - \frac{1}{u_{n+1} - 3} \] - Bước 3: Tìm giới hạn của $v_n$. Ta có: \[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{u_1 - 3} - \frac{1}{u_{n+1} - 3} \right) \] Vì $\lim u_n = +\infty$, nên: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{u_{n+1} - 3} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} v_n = \frac{1}{u_1 - 3} = \frac{1}{2023 - 3} = \frac{1}{2020} \] Kết luận: Giới hạn của dãy số $(v_n)$ là $\frac{1}{2020}$.